まず作図をします。物体A,Bともに重力を作図し、それぞれ上向きの張力\(T\)を書き入れましょう。
次に加速度の向きを設定します。問題文に、物体Aを降下させて、と書いてあるので、物体Aの加速度を下向きに、物体Bの加速度を上向きに設定することにします。
(1)
物体Aの運動方程式は
\(Ma＝Mg-T\)
物体Bの運動方程式は
\(ma＝T-mg\)
なので、辺々を足して
\(Ma+ma＝Mg-mg\)
\((M+m)a＝(M-m)g\)
∴
\(a=\displaystyle \frac{(M-m)g}{M+m}\)
(2)
物体Bの運動方程式へ(1)の加速度を代入すると
\(m･\displaystyle \frac{(M-m)g}{M+m}＝T-mg\)
\(T=m･\displaystyle \frac{(M-m)g}{M+m}+mg\)
\(T=mg\left(\displaystyle \frac{M-m}{M+m}+1\right)\)
ここで、カッコの中の第２項の「１」を通分して
\(T=mg\left( \displaystyle \frac{M-m}{M+m}+\frac{M+m}{M+m}\right)\)
\(T=mg･\displaystyle\frac{(M-m+M+m)}{M+m}\)
\(T=mg･\displaystyle\frac{2M}{M+m}\)
∴
\(T=\displaystyle\frac{2Mmg}{M+m}\)
(3)
滑車に注目すると、滑車を上向きに引く糸は１本で、下向きに引く糸は２本あることに気づきます。
ここから、
\(S=2T\)
∴
\(S=\displaystyle\frac{4Mmg}{M+m}\)
となるので、(2)が求まりさえすればすぐに解答まで持っていくことができます。
(4)
ここまで求まってしまえば、物体Aに関する等加速度の問題に切り替えます。
物体Aは、単に高さ\(h\)から加速度\(a\)で落下する等加速度直線運動だととらえることができます。
等加速度運動の公式を思い出すと、
高さに関しての式は
\(h=\displaystyle\frac{1}{2}at^2\)
速さに関しての式は
\(v=at\)
です。これらに、さっき(1)で解いた加速度\(a\)を代入しましょう。
まずは高さに関する式から落下時刻を計算します。
\(h=\displaystyle\frac{1}{2}at^2\)
\(t^2=\displaystyle\frac{2h}{a}\)
(1)より
\(a=\displaystyle \frac{(M-m)g}{M+m}\)
なので、
\(t^2=\displaystyle \frac{M+m}{(M-m)g}･2h\)
∴
\(t=\displaystyle \sqrt {\frac{M+m}{(M-m)g}･2h}\)
続けて速さも求めてみます。
\(v=at\)
に(1)の加速度\(a\)と、今求めた時刻\(t\)をそれぞれ代入しましょう。
式計算は複雑ですが、原理としては単純なことをしています。
\(v=\)\(a\)\(t\) より
\(v=\)\(\displaystyle \frac{(M-m)g}{M+m}\)\(･\)\(\displaystyle\sqrt {\frac{M+m}{(M-m)g}･2h}\)
\(v=\)\(\displaystyle \sqrt{ \frac{(M-m)^2g^2}{(M+m)^2} }\)\(･\)\(\displaystyle\sqrt {\frac{M+m}{(M-m)g}･2h}\)
\(v=\displaystyle \sqrt{ \frac{(M-m)^2g^2}{(M+m)^2}･\frac{M+m}{(M-m)g}･2h}\)
\(v=\displaystyle \sqrt{ \frac{2gh(M-m)}{M+m} }\)
