(1)
台をゆっくりおろしていき、まだ台が離れていないときを考えます。
図のように、重力\(mg\)とつりあう力として、弾性力\(kx\)と垂直抗力\(F\)があるので、
\(mg=kx+F\)
としておいて、\(kx\)を移項して、
\(F=mg-kx[N]\)
となります。
問題文に単位が指定されているので、解答にも単位をつけなければいけませんね。
(2)
おもりが台から離れたとき、おもりは重力と弾性力によってつり合いの状態になっています。よって
\(mg=kx\)
となります。もしくは、(1)の問題で、単に\(F=0\)と考えてもいいですね。
ここから移項して
\(x_1=\displaystyle\frac{mg}{k}[m]\)
(3)
はじめの状態で台を急に取り去ると、おもりは単振動を行います。
いろいろと別解も考えられそうですが、ここでは力学的エネルギー保存則を使うのが一番早く解けそうです。
最下点がどこか分かりませんが、最下点を高さの基準として考えます。このとき、最高点、つまり初期位置は高さ\(x_2\)にあることになります。また、最下点ではばねののびが\(x_2\)になり、ちょうど静止していることになります。おもりがUターンする部分の頂点ですから、最下点にきた瞬間だけ速さ\(0\)ですね。
これらの力学的エネルギーを書き出してみます。
■最高点(初期位置)
位置エネルギー：\(mgx_2\)
運動エネルギー：\(0\)
弾性エネルギー：\(0\)
■最下点
位置エネルギー：\(0\)
運動エネルギー：\(0\)
弾性エネルギー：\(\displaystyle\frac{1}{2}kx_2^2\)
保存則を使うと
\(mgx_2=\displaystyle\frac{1}{2}kx_2^2\)
\(x_2≠0\) なので、両辺から割って
\(mg=\displaystyle\frac{k}{2}x_2\)
\(x_2=\displaystyle\frac{2mg}{k}[m]\)
となりました。
(4)
エネルギーと仕事の関係の問題です。
まず\(x_2\)について。これはイメージしやすいように、最高点(初期位置)で手をはなすと、その位置エネルギーがすべて運動エネルギーと弾性エネルギーに変わっていきますので、おもりがつり合いの点を通るときにも運動エネルギーが残ってしまい、さらに下へ下へと運動することができます。
次に\(x_1\)について。こちらは、人間が支えながらそーっと下げています。このとき、人間が加える力は(1)の図でいう垂直抗力\(F\)に相当します。おもりをおろすにしたがって\(F\)の大きさは変化するので、直接計算で値を求めるのは難しいかもしれませんが、少なくとも、加えた力の向きとは逆向きに動いているので、負の仕事をしていることが分かります。
負の仕事の代表格は摩擦力ですね。要は、負の仕事をすることで、もともとおもりが持っていた位置エネルギーのうちのいくらかは、手を動かすためのエネルギーに使われてしまっているわけです。そして、値としては、おもりのつり合いの点で運動エネルギーが\(0\)になるような量だけ手によって仕事がなされた、ということになります。
負のエネルギーを”垂直抗力”と呼ぶことにすれば、垂直抗力がなければおもりは\(x_2\)まで伸びることができたが、垂直抗力があるときは、それより短い\(x_1\)までしか伸びることができない、というようなイメージですね。
