屈折の法則をHuygens(ホイヘンス)の原理から考える問題です。京大、こういうの好きですね。
ここまで何問か解いてみて、通常授業でなんとなく通り過ぎていく公式導出の部分への着眼からの出題が多いように感じます。
(ア)
屈折の法則より
\(\displaystyle\frac{v_1}{v_2}=\frac{sinθ_1}{sinθ_2}\)
(イ) \(\overline{PP'}=wt\)
(ウ) \(\overline{P'R}=v_3t\)
(エ) \(\overline{QS}=v_2t\)
ここまでは特に問題ないかと思われます。
境界面Ⅱでの入射角\(θ_2\)と屈折角\(θ_3\)の関係を導くところから進めましょう。
以下、辺の長さを表すバーを省略します。サイト上だと、ただ線引くだけでも書くの大変なんです。
(オ)
\(△SPQ\)について
\(PSsinθ_2=v_2t\)
\(PS=\displaystyle\frac{v_2t}{sinθ_2}\)
\(△P'SR\)について
\(P'Ssinθ_3=v_3t\)
\(P'S=\displaystyle\frac{v_3t}{sinθ_3}\)
∴
\(PS=PP'+P'S\) より
\(\displaystyle\frac{v_2t}{sinθ_2}=wt+\frac{v_3t}{sinθ_3}\)
\(\displaystyle\frac{v_2}{sinθ_2}=w+\frac{v_3}{sinθ_3}\)
\(w=\displaystyle\frac{v_2}{sinθ_2}-\frac{v_3}{sinθ_3}\)
(カ)
境界面Ⅱを通過した屈折波の波面がPR方向に進んでいると考えてはいけません。
波が粒子のように風に流されてPからRに進むと考えてしまうと、PR方向への速さを考えたくなりますが、今求めようとしているのは、屈折波の波面の速さを求めたいので、SRと垂直な方向への速さです。
読解力がきちんとあれば、問題文に「鉛直からの角度\(θ_3\)方向に、…速さ[カ]で進んでいく」と書いてあることが目につくと思います。PR方向は「鉛直からの角度\(θ_3\)方向」ではないですね。
境界面Ⅱを通過する前の波面の速さを\(v_2\)、通過した後の波面の速さを\(V\)とすると、屈折の法則より
\(\displaystyle\frac{V}{v_2}=\frac{sinθ_3}{sinθ_2}\)
\(\displaystyle\frac{V}{sinθ_3}=\frac{v_2}{sinθ_2}\)
(オ)より
\(\displaystyle\frac{V}{sinθ_3}=w+\frac{v_3}{sinθ_3}\)
\(V=wsinθ_3+v_3\)
(キ) \(θ_2=θ_4\)
これは単なる反射の法則。
(ク)
解くだけなら全反射が起こる角度(臨界角)での屈折の式を立ててしまえば、さして式変形せずに終了ですが、ここでは不等号の向きの考え方も含めて求めてみます。
屈折の法則より
\(\displaystyle\frac{sinθ_2}{sinθ_1}=\frac{v_2}{v_1}\)
\(sinθ_2=\displaystyle\frac{v_2}{v_1}sinθ_1\)
\(θ_2=90°\)のとき\(θ_1\)は臨界角\(θ_A\)となる。
∴
\(sin90°=\displaystyle\frac{v_2}{v_1}sinθ_A\)
\(sinθ_A=\displaystyle\frac{v_1}{v_2}\)
\(sinθ_A≦sinθ_1\)で全反射が起こるので、
\(\displaystyle\frac{v_1}{v_2}≦sinθ_1<1\)
∴
\(\displaystyle\frac{v_1}{v_2}<1\)
図１よりも前のリード文の最後の方に書いてある「鉛直から右へ角度\(θ_1\)をなす方向に発せられた音波」というところに、\(0<θ_1<90°\)という条件が含まれています。イコールを含むか含まないかまで問われていれば難しい問題でしたね。
(ケ) ①
\(v_1<v_2\)でなければなりません。
(コ)
同様に考えます。境界面Ⅱより上空では、風速\(w\)の分だけ音速が速くなっていることに注意して、屈折の法則より、全反射するためには次の不等号が成立する
\(\displaystyle\frac{sin90°}{sinθ_B}=\frac{w+v_3}{v_2}\)
\(\displaystyle\frac{sin90°}{sinθ_2}≦\frac{w+v_3}{v_2}\)
∴
\(\displaystyle\frac{v_2}{w+v_3}=sinθ_B≦sinθ_2<1\)
(サ)
あとはくり返し同じ作業をするだけです。境界面Ⅰより下層から境界面Ⅱより上層に直接入射することを考えて、屈折の法則より、
\(\displaystyle\frac{sin90°}{sinθ_C}=\frac{w+v_3}{v_1}\)
\(\displaystyle\frac{sin90°}{sinθ_1}≦\frac{w+v_3}{v_1}\)
∴
\(\displaystyle\frac{v_1}{w+v_3}=sinθ_C≦sinθ_1<1\)
(シ) ① 解説略
