(1)
公式そのままです。鉛直上向きを正として、
\(y_A=v_0t-\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)
(2)
自由落下の高さの公式は、鉛直下向きを正として、
\(y=\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)
ですが、この公式は「１物体の自由落下」の公式で、原点スタートなのが前提となっています。
この問題は、２物体の落体問題なので、物体Aか物体Bのどちらかは原点スタートに設定できますが、どちらかは犠牲にならなければいけません。今回、物体Aが最初にいる位置を原点としているので、物体Bは原点スタートにはできません。
\(t=0\)の時点ですでに\(h\)の高さにあるので、その部分の調整をして、自由落下の式を書くと、鉛直上向きを正として、
\(y_B=h-\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)
となります。
第一項の\(h\)は、初期位置と言われるもので、初期条件の一つです。
\(t=0\)のとき、\(y=h\)でなければいけないので、調整のためについています。
第二項は、鉛直上向きを正と設定されている問題なので、符号がマイナスになっています。
(3)
Bが地面に到達するとき、\(y_B=0\)なので、
\(0=h-\displaystyle\frac{1}{2}gt_1^2\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}gt_1^2=h\)
\(t_1^2=\displaystyle\frac{2h}{g}\)
\(t_1=\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}\)
(4)
衝突する瞬間では、\(y_A=y_B\)となるので、この瞬間を\(t_2\)とすると
(1)と(2)の解答より
\(v_0t_2-\displaystyle\frac{1}{2}gt_2^2=h-\displaystyle\frac{1}{2}gt_2^2\)
\(v_0t_2=h\)
\(t_2=\displaystyle\frac{h}{v_0}\)
(5)
\(t_2=\displaystyle\frac{h}{v_0}\)のときに衝突します。
このとき、２つの小球が衝突する高さは、
\(y_B=h-\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) より
\(y_B=h-\displaystyle\frac{1}{2}g(\frac{h}{v_0})^2\)
\(y_B=h-\displaystyle\frac{gh^2}{2v_0^2}\)
この高さが空中であるということは、\(y_B>0\)であればいいので、
\(h-\displaystyle\frac{gh^2}{2v_0^2}>0\)
\(h>\displaystyle\frac{gh^2}{2v_0^2}\)
\(2v_0^2h>gh^2\)
\(2v_0^2>gh\)
\(v_0^2>\displaystyle\frac{gh}{2}\)
\(v_0>\sqrt{\displaystyle\frac{gh}{2}}\)
