(1)
合成抵抗は\(R_1+r\)なので、
\(V=RI\) より
\(I=\displaystyle\frac{V}{R_1+r}\)
(2)
\(V_{ab}=R_1I\) より
\(V=\displaystyle\frac{R_1V}{R_1+r}\)
単位時間あたりに消費されるエネルギーとは、\(Q=VIt\)において、\(t=1\)のときの量を考えればよいので、実質として、
\(P=VI\) を求めればよいことになります。\(P[W]\)は、電力を表しています。
\(P=\displaystyle\frac{R_1V}{R_1+r}･\frac{V}{R_1+r}\)
\(=R_1\left( \displaystyle\frac{V}{R_1+r}\right)^2\)
(3)
\(P=\displaystyle\frac{R_1V^2}{(R_1+r)^2}\)
\(=\displaystyle\frac{R_1V^2}{R_1^2+2R_1r+r^2}\)
\(=\displaystyle\frac{V^2}{R_1+2r+\frac{r^2}{R_1}}\)
\(=\displaystyle\frac{V^2}{R_1-2r+\frac{r^2}{R_1}+4r}\)
\(=\displaystyle\frac{V^2}{(\sqrt{R_1}-\frac{r}{\sqrt{R_1}})^2+4r}\)
よって、
\(\sqrt{R_1}-\displaystyle\frac{r}{\sqrt{R_1}}=0\)
のとき、つまり、
\(\sqrt{R_1}=\displaystyle\frac{r}{\sqrt{R_1}}\) ； \(R_1=r\) のとき電力\(P\)が最大値となる。
このとき、
\(P=\displaystyle\frac{R_1V^2}{(R_1+R_1)^2}=\frac{R_1V^2}{4R_1^2}=\frac{V^2}{4R_1}\)
(4)
それぞれの合成抵抗は、
① \(R_1\)
② \(R_1+R_2\)
③ \(\displaystyle\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\)
④ \(0\)
であるので、仮に\(R_1=1\Omega\)、\(R_2=1\Omega\)なり適当に数字を設定して代入してみると、
①\(=1\Omega\) ②\(=2\Omega\) ③\(=0.5\Omega\) ④\(=0\Omega\)
のように並ぶので、
④＜③＜①＜②
と判断できる。
(5)
\(R_1=r\)のとき、電力\(P\)が最大になるが、いま、\(r<R_1\)なので、\(ab\)間には\(R_1\)より小さい抵抗をもつものを選ばなければいけません。
ただし、抵抗は\(0\)ではダメなので、③の回路、ということになりますね。このとき\(R_2\)は、
\(\displaystyle\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}=r\)
\(R_1R_2=r(R_1+R_2)\)
\(=rR_1+rR_2\)
\(R_1R_2-rR_2=rR_1\)
\((R_1-r)R_2=rR_1\)
\(R_2=\displaystyle\frac{rR_1}{R_1-r}\)
となります。
