単振動のエネルギー
入試のことを考えると、本当はしっかり深めないといけない分野ですが、ここでは軽めの紹介程度で終わらせてしまいます。
教科書でもコラム程度の軽い扱いしかありませんね。重要分野ですので、ゆくゆくは問題演習をしていく中で深めておきましょう。
単振動の力学的エネルギーを導出してみましょう。
力学的エネルギー＝運動エネルギー＋位置エネルギー より
\(E=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}m(A\omega cos\omega t )^2 + \frac{1}{2}k(Asin\omega t)^2 \)
\(\omega=\displaystyle\sqrt{\frac{k}{m}}\) より
\(=\displaystyle\frac{1}{2}m\omega^2 A^2 (cos^2\omega t +sin^2\omega t) \)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}m\omega^2 A^2 \)
\(=2\pi^2 m f^2 A^2\)
となりました。
これは、単振動する物体の力学的エネルギーは常に一定で、振幅\(A\)と振動数\(f\)の２乗に比例することを表しています。いま、シンプルに単振動の公式から式変形しましたが、水平ばね振り子だけでなく、鉛直ばね振り子だろうと単振り子だろうと、単振動であれば一般的に成り立っている式です。
▼単振動のエネルギー
\(E=2\pi^2 m f^2 A^2\)
