■解答
(ア) \(\displaystyle\frac{GMm_A}{(R+a)^2}\) (イ) \(m_A(R+a)\omega^2\) (ウ) \(\displaystyle\frac{GMm_B}{(R-b)^2}\) (エ) \(m_B(R-b)\omega^2\)
(オ) \(c=1\) (カ) \(k=-1\) (キ) \(3m_A\omega^2\) (ク) \(\displaystyle\sqrt{\frac{GM}{R}}\)
(ケ) \(1-\displaystyle\frac{\theta}{2\pi}\) (コ) \(2\left(\displaystyle\frac{T_1}{T_0}\right)^{\frac{2}{3}}-1\) (サ) \(\displaystyle\sqrt{\frac{2d}{R+d}}\)
問1 \(-\displaystyle\frac{1}{6\pi}\)
■解説
(ア) 万有引力の公式より
\(G\displaystyle\frac{Mm_A}{(R+a)^2}\)
(イ) 遠心力の公式より
\(m_A(R+a)\omega^2\)
(ウ) 万有引力の公式より
\(G\displaystyle\frac{Mm_B}{(R-b)^2}\)
(エ) 遠心力の公式より
\(m_B(R-b)\omega^2\)
(オ)
人工衛星\(Z\)が、小物体\(A\)と\(B\)を取り付ける前と同じ円軌道を同じ角速度\(\omega\)で動き続けるためには、\(N_A=N_B\)でなくてはならない。
よって \(c=1\)
(オ)式で説明
人工衛星にはたらく万有引力の大きさを\(F\)、遠心力の大きさを\(f\)とすると、
小物体を取り付ける前の力のつり合いの式は
\(F=f\)
小物体を取り付けた後の力のつり合いの式は
\(F+N_A=f+N_B\)
よって
\(N_A=N_B\)
つまり
\(c=1\)
この説明に関して、人工衛星にはたらく万有引力と遠心力はそれぞれ\(F=G\displaystyle\frac{Mm_Z}{R^2}\)と\(f=m_ZR\omega^2\)ですが、代入しなくても求まりますね。
(カ)
小物体の取り付け前の力のつり合い、および(ⅰ)(ⅱ)式と、\(c=1\)を利用すると、次の４本の連立式を解けば良い。
① \(G\displaystyle\frac{Mm_Z}{R^2}=m_ZR\omega^2\)
② \(G\displaystyle\frac{Mm_A}{(R+a)^2}+N_A=m_A(R+a)\omega^2\)
③ \(G\displaystyle\frac{Mm_B}{(R-b)^2}=N_B+m_B(R-b)\omega^2\)
④ \(N_A=N_B\)
与えられた近似を用いると
① \(\displaystyle\frac{GM}{R^2}=R\omega^2\)
② \(\displaystyle\frac{GMm_A}{R^2}\left(1-2\frac{a}{R}\right)+N_A=m_A(R+a)\omega^2\)
③ \(\displaystyle\frac{GMm_B}{R^2}\left(1+2\frac{b}{R}\right)=N_B+m_B(R-b)\omega^2\)
④ \(N_A=N_B\)
①式を②③に代入して
② \(m_AR\omega^2\displaystyle\left(1-\frac{2a}{R}\right)+N_A=m_A(R+a)\omega^2\)
③ \(m_BR\omega^2\displaystyle\left(1+\frac{2b}{R}\right)=N_B+m_B(R-b)\omega^2\)
④ \(N_A=N_B\)
よって
\(N_A=3m_Aa\omega^2\)
\(N_B=3m_Bb\omega^2\)
ゆえに
\(3m_Aa\omega^2=3m_Bb\omega^2\)
∴
\(\displaystyle\frac{m_A}{m_B}=\frac{b}{a}=\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}\)
∴
\(k=-1\)
(キ)
\(N_A=3m_Aa\omega^2\) より
\(\displaystyle\frac{N_A}{a}=3m_A\omega^2\)
(ク)
人工衛星\(Z\)の力のつり合い
\(G\displaystyle\frac{Mm_Z}{R^2}=m_Z\frac{V_0^2}{R}\)
\(V_0=\displaystyle\sqrt{\frac{GM}{R}}\)
もしくは
宇宙船\(U\)の力のつり合い
\(G\displaystyle\frac{Mm_U}{R^2}=m_U\frac{V_0^2}{R}\)
\(V_0=\displaystyle\sqrt{\frac{GM}{R}}\)
どちらでも求まりますね。
(ケ)
人工衛星\(Z\)が角\(\theta\)だけ周回するのに要する時間を\(t\)とすると、
\(\theta[rad] : t = 2\pi[rad] : T_0\)
より
\(2\pi t = \theta T_0\)
\(t=\displaystyle\frac{\theta}{2\pi}T_0\)
であるから、人工衛星が一周より角\(\theta\)分だけ短い距離を周回する時間\(T_1\)は、
\(T_1=T_0-\displaystyle\frac{\theta}{2\pi}T_0\)
\(=\left(1-\displaystyle\frac{\theta}{2\pi}\right)T_0\)
∴
\(\displaystyle\frac{T_1}{T_0}=1-\frac{\theta}{2\pi}\)
(コ)
半径\(R\)の円軌道と、半長軸\(\frac{R+d}{2}\)の楕円軌道に対して、ケプラーの第三法則を適用すると、
\(\displaystyle\frac{T_1^2}{\left(\frac{R+d}{2}\right)^3}=\frac{T_0^2}{R^3}\)
\(\displaystyle\left(\frac{2R}{R+d}\right)^3=\left(\frac{T_0}{T_1}\right)^2\)
\(\displaystyle\left(\frac{2}{1+\frac{d}{R}}\right)^3=\left(\frac{T_0}{T_1}\right)^2\)
\(\displaystyle\left(1+\frac{d}{R}\right)^3=8\left(\frac{T_1}{T_0}\right)^2\)
\(1+\displaystyle\frac{d}{R}=2\left(\frac{T_1}{T_0}\right)^{\frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle\frac{d}{R}=2\left(\frac{T_1}{T_0}\right)^{\frac{2}{3}}-1\)
(サ)
ケプラーの第二法則より
\(\displaystyle\frac{1}{2}dV_D=\frac{1}{2}RV_1\)
⇔ \(V_D=\displaystyle\frac{R}{d}V_1\)
力学的エネルギー保存則より
\(\displaystyle\frac{1}{2}m_UV_D^2-\frac{GMm_U}{d}=\frac{1}{2}m_UV_1^2-\frac{GMm_U}{R}\)
この式にケプラー第二法則で求めた\(V_D\)を代入して整理すると、
\(V_D^2-\displaystyle\frac{2GM}{d}=V_1^2-\frac{2GM}{R}\)
\(\displaystyle\frac{R^2-d^2}{d^2}V_1^2=2GM\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{R}\right)\)
\(V_1^2=\displaystyle\frac{d^2}{R^2-d^2}･2GM\frac{R-d}{Rd}\)
\(R^2-d^2=(R+d)(R-d)\)を利用して約分し、整理すると、
\(V_1^2=\displaystyle\frac{2d}{R+d}･\frac{GM}{R}\)
\(V_1^2=\displaystyle\frac{2d}{R+d}V_0^2\)
∴
\(\displaystyle\frac{V_1}{V_0}=\sqrt{\frac{2d}{R+d}}\)
問１
\(\theta≪\pi\)であるから、近似を利用して、
\(\displaystyle\frac{d}{R}=2\left(1-\frac{\theta}{2\pi}\right)^{\frac{2}{3}}-1\)
\(≒2\left(1-\displaystyle\frac{2}{3}･\frac{\theta}{2\pi}\right)-1\)
\(=1-\displaystyle\frac{2\theta}{3\pi}\)
これを(サ)に適用して、さらに近似をすると、
\(\displaystyle\frac{V_1}{V_0}=\sqrt{\frac{2･\frac{d}{R}}{1+\frac{d}{R}}}\)
\(=\displaystyle\sqrt{\frac{2(1-\frac{2\theta}{3\pi})}{1+(1-\frac{2\theta}{3\pi})}}\)
\(=\displaystyle\sqrt{\frac{2(1-\frac{2\theta}{3\pi})}{2-\frac{2\theta}{3\pi}}}\)
\(=\displaystyle\sqrt{\frac{1-\frac{2\theta}{3\pi}}{1-\frac{\theta}{3\pi}}}\)
\(=\displaystyle\left(1-\frac{2\theta}{3\pi}\right)^{\frac{1}{2}}･\left(1-\frac{\theta}{3\pi}\right)^{-\frac{1}{2}}\)
\(≒\displaystyle\left(1-\frac{\theta}{3\pi}\right)\left(1+\frac{\theta}{6\pi}\right)\)
\(=1+\displaystyle\frac{\theta}{6\pi}-\frac{\theta}{3\pi}+\delta\)
\(\delta\)は微小量なので０とする
\(≒1-\displaystyle\frac{\theta}{6\pi}\)
∴
\(V_1=\left(1-\displaystyle\frac{\theta}{6\pi}\right)V_0\)
\(\Delta V=V_1-V_0\)
\(=\left(1-\displaystyle\frac{\theta}{6\pi}\right)V_0-V_0\)
\(=-\displaystyle\frac{\theta}{6\pi}V_0\)
∴
\(\displaystyle\frac{\Delta V}{\theta V_0}=-\frac{1}{6\pi}\)
