(1)
一体化問題は運動量と力積の問題です。
弾丸が衝突する前の運動量の合計が、衝突したあとの運動量と一致するように式を立ててやりましょう。
衝突前、弾丸の運動量は\(mv_0\)、木片の運動量は\(0\)です。
衝突後、弾丸と木片は一体化して、質量\(M+m\)になります。
この一体化した物体の速度を\(V\)とするので、運動量は\((M+m)V\)と書くことができます。
よって
\(mv_0=(M+m)V\) より
\(V=\displaystyle\frac{mv_0}{M+m}\)
(2)
どれだけの高さまで上がるか、という問題は、衝突が関係ない部分ですので、もはや運動量と力積の問題ではありません。
ここでは力学的エネルギー保存則を使います。
各点のエネルギー値は次のとおりです。
| 下端 | 最高点 | |
| 位置エネルギー |
0 |
\((M+m)gh\) |
| 運動エネルギー | \(\displaystyle\frac{1}{2}(M+m)V^2\) | 0 |
| 力学的エネルギー | E | E |
力学的エネルギーは具体値を計算していませんが、仮に下端の力学的エネルギーを\(E\)とすると、最高点でも同じ値\(E\)になります。
保存則を考えると、
\(\displaystyle\frac{1}{2}(M+m)V^2=(M+m)gh\) より
\(\displaystyle\frac{1}{2}V^2=gh\)
\(V\)には(1)で求まった値を代入しましょう。
\(gh=\displaystyle\frac{1}{2} \left(\frac{mv_0}{M+m}\right)^2\)
\(h=\displaystyle\frac{1}{2g}\left( \frac{mv_0}{M+m}\right)^2\)
