(1)
半径\(2R\)の円運動をしていると考えることができるので、地球の質量を\(M\)として、円運動の運動方程式を立てると、
\(m\displaystyle\frac{v_0^2}{2R}=G\displaystyle\frac{Mm}{(2R)^2}\)
\(v_0^2=\displaystyle\frac{GM}{2R}\)
ここで、\(GM=gR^2\)の変換をすると、
\(v_0^2=\displaystyle\frac{gR^2}{2R}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}gR\)
よって
\(v_0=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}gR}\)
[補足]\(GM=gR^2\)について
地上の重力を考えたとき、物体にはたらく重力は\(mg\)ですが、万有引力の公式を使って、\(G\displaystyle\frac{Mm}{R^2}\)とも書くことができます。よって、
\(mg=G\displaystyle\frac{Mm}{R^2}\)
\(g=G\displaystyle\frac{M}{R^2}\)
\(gR^2=GM\)
となります。これは、物体が地上にあるときを元に導出しましたが、値として\(gR^2\)の大きさと\(GM\)の大きさが等しいということを示しているので、関係式になってしまいさえすれば、あとは地上でなくても、宇宙のどこで考えても\(gR^2=GM\)は成立します。
(2)
\(T_0=\displaystyle\frac{2\pi R}{v_0}\)
\(=\displaystyle\frac{2\pi R}{\sqrt{\frac{1}{2}gR}}\)
\(=4\pi \sqrt{\displaystyle\frac{2R}{g}}\)
(3)
天体の運動であろうと、地上の運動であろうと、運動エネルギーは\(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)で表すことができます。一方、位置エネルギーは重力が\(g\)で表せない一般的な場合には\(-G\displaystyle\frac{Mm}{r}\)を使います。
点\(A\)と点\(B\)とで、それぞれエネルギーを書き出してみると、次のようになります。
[点\(A\)]
運動エネルギー：\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_1^2\)
位置エネルギー：\(-G\displaystyle\frac{Mm}{2R}\)
[点\(B\)]
運動エネルギー：\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_2^2\)
位置エネルギー：\(-G\displaystyle\frac{Mm}{6R}\)
これらを活用して、力学的エネルギー保存則を書き出してみましょう。
力学的エネルギーは運動エネルギーと位置エネルギーの和です。
点\(A\)と点\(B\)との間での力学的エネルギー保存則は
\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_1^2-G\frac{Mm}{2R}=\frac{1}{2}mv_2^2-G\frac{Mm}{6R}\)
ここで、\(GM=gR^2\)の変換をすると、
\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{gR^2･m}{2R}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{gR^2･m}{6R}\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mgR=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{6}mgR\)
(4)
ケプラー第二法則より
\(2Rv_1=6Rv_2\)
\(v_2=\displaystyle\frac{1}{3}v_1\)
(5)
\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mgR=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{6}mgR\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}v_1^2-\frac{1}{2}gR=\frac{1}{2}v_2^2-\frac{1}{6}gR\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}v_1^2-\frac{1}{2}v_2^2=\frac{1}{2}gR-\frac{1}{6}gR\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}v_1^2-\frac{1}{2}･(\frac{1}{3}v_1)^2=\frac{1}{3}gR\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}v_1^2-\frac{1}{2}･\frac{1}{9}v_1^2=\frac{1}{3}gR\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}v_1^2-\frac{1}{18}v_1^2=\frac{1}{3}gR\)
\(\displaystyle\frac{9}{18}v_1^2-\frac{1}{18}v_1^2=\frac{1}{3}gR\)
\(\displaystyle\frac{8}{18}v_1^2=\frac{1}{3}gR\)
\(\displaystyle\frac{4}{9}v_1^2=\frac{1}{3}gR\)
\(v_1^2=\displaystyle\frac{9}{4}･\frac{1}{3}gR\)
\(=\displaystyle\frac{3}{4}gR\)
\(v_1=\displaystyle\frac{\sqrt{3gR}}{2}\)
\(v_2=\displaystyle\frac{1}{3}v_1=\frac{\sqrt{3gR}}{6}\)
(6)
楕円軌道の周期を求めるときは、同じ中心星を回る\(2\)軌道で、ケプラーの第三法則を立てて連立して解きます。
ここでは、円軌道と楕円軌道の\(2\)種類の軌道についてそれぞれケプラー第三法則を立てて、連立して解きます。
円軌道についてケプラー第三法則 \(T^2=ka^3\) より
\(T_0^2=k(2R)^3\)
\(=8kR^3\)
また楕円軌道は、長軸が\(2R+6R=8R\)であるから、半長軸が\(4R\)になる
このことから、ケプラー第三法則より
\(T^2=k(4R)^3\)
\(=64kR^3\)
ここに\(T_0\)を代入して整理すると、
\(T^2=8T_0^2\)
\(T=2\sqrt{2}T_0\)
(2)で求めた\(T_0\)を代入して、
\(T=2\sqrt{2}･4\pi \sqrt{\displaystyle\frac{2R}{g}}\)
\(=16\pi \sqrt{\displaystyle\frac{R}{g}}\)
