■解答
(ア) \(\sqrt{V^2-2gh}\) (イ) \(\sqrt{\displaystyle\frac{V^2sin^2\theta -2gh}{V^2-2gh}}\) (ウ) \(-mV_0+MV_0\)
(エ) \(-2V_0\) (オ) \(\displaystyle\frac{3M-m}{M+m}V_0\) (カ) \(\displaystyle\frac{M-3m}{M+m}V_0\)
(キ) \(3\) (ク) \(2\) (ケ) \(\displaystyle\frac{2V^2sin^2\theta}{g}-3h\)
(コ) \(a_{n-1}+1\) (サ) \(1+n\) (シ) \(h+\displaystyle\frac{(n+1)^2}{2g}･(V^2sin^2\theta-2gh)\)
問１ \(2n+1\)(倍) 問２ \(25\)倍
■解説
(ア)
力学的エネルギー保存則より
\(\displaystyle\frac{1}{2}mV^2=\frac{1}{2}mV_0^2+mgh\)
\(V^2=V_0^2+2gh\)
\(V_0^2=V^2-2gh\)
\(V_0=\sqrt{V^2-2gh}\)
(イ)
鉛直上向きを正として、鉛直成分について
\(v^2-v_0^2=-2gy\) より
\((-V_0sin\theta_1)^2-(Vsin\theta)^2=-2gh\)
\(V_0^2sin^2\theta_1-V^2sin^2\theta=-2gh\)
\(V_0^2sin^2\theta_1=V^2sin^2\theta-2gh\)
\(sin^2\theta_1=\displaystyle\frac{V^2sin^2\theta-2gh}{V_0^2}\)
\(sin\theta_1=\sqrt{\displaystyle\frac{V^2sin^2\theta-2gh}{V^2-2gh}}\)
(ウ)
運動量保存則を立てると、
\(mv_1+Mw_1=-mV_0+MV_0\)
\((=(M-m)V_0)\)
(エ)
反発係数の式は、
\(e=\displaystyle\frac{遠ざかる速さ}{近づく速さ}\)
で表されるので、\(e=1\)として、
\(1=\displaystyle\frac{v_1-w_1}{2V_0}\)
\(=-\displaystyle\frac{v_1-w_1}{-2V_0}\)
(オ)(カ)
(ウ)(エ)を連立して、(エ)より
\(2V_0=v_1-w_1\)
\(v_1=2V_0+w_1\) …(*)
(ウ)へ代入
\(m(2V_0+w_1)+Mw_1=-mV_0+MV_0\)
\(2mV_0+(M+m)w_1=-mV_0+MV_0\)
\((M+m)w_1=MV_0-3mV_0\)
\(w_1=\displaystyle\frac{M-3m}{M+m}V_0\) …(カ)
これを(*)式に代入すると、
\(v_1=2V_0+\displaystyle\frac{M-3m}{M+m}V_0\)
\(=\displaystyle\frac{3M-m}{M+m}V_0\) …(オ)
(キ)
\(w_1=0\)のとき、(カ)より
\(0=\displaystyle\frac{M-3m}{M+m}V_0\)
よって
\(M-3m=0\)
\(M=3m\) ∴３倍
(ク)
(キ)の結果を(オ)に代入すると、
\(v_1=\displaystyle\frac{9m-m}{3m+m}V_0\)
\(=\displaystyle\frac{8m}{4m}V_0\)
\(=2V_0\)
よって ２倍
(ケ)
弾性衝突をしているので、力学的エネルギーは水平成分も鉛直成分も保存する。このうち鉛直成分の力学的エネルギー保存則を考えると、
\(\displaystyle\frac{1}{2}m(2V_0sin\theta_1)^2+mgh=mgh_1\)
\(2V_0^2sin^2\theta_1+gh=gh_1\)
\(h_1=h+\displaystyle\frac{2V_0^2sin^2\theta_1}{g}\)
ここに、(ア)より\(V_0=\sqrt{V^2-2gh}\)、(イ)より\(sin\theta_1=\sqrt{\displaystyle\frac{V^2sin^2\theta-2gh}{V^2-2gh}}\)を代入すると、
\(h_1=h+\displaystyle\frac{2}{g}(V^2-2gh)･\frac{V^2sin^2\theta-2gh}{V^2-2gh}\)
\(=h+\displaystyle\frac{2}{g}(V^2sin^2\theta-2gh)\)
\(=\displaystyle\frac{2V^2sin^2\theta}{g}-3h\)
(コ)
反発係数の式より
\(1=\displaystyle\frac{v_n}{V_0+v_{n-1}}\)
\(=\displaystyle\frac{a_nV_0}{V_0+a_{n-1}V_0}\)
\(=\displaystyle\frac{a_n}{1+a_{n-1}}\)
\(a_n=a_{n-1}+1\)
(サ)
(コ)より
\(a_n-a_{n-1}=1\)
であるから、公差\(1\)の等差数列である。
\(a_1=2\)
であるためには、等差数列の公式
\(a_n=a_1+(n-1)d\) より
\(a_n=2+(n-1)×1\)
\(=1+n\)
(シ)
\(n\)回目の衝突直後における小球の速度成分\(v_n\)を\(a_nV_0\)とすると、(ケ)と同様に、鉛直成分の力学的エネルギー保存則より、
\(\displaystyle\frac{1}{2}m(a_nV_0sin\theta_1)^2+mgh=mgh_n\)
\(h_n=h+\displaystyle\frac{1}{2g}(a_nV_0sin\theta_1)^2\)
\(=h+\displaystyle\frac{1}{2g}[(n+1)V_0sin\theta_1]^2\)
\(=h+\displaystyle\frac{(n+1)^2}{2g}･(V_0sin\theta_1)^2\)
ここに、(ア)より\(V_0=\sqrt{V^2-2gh}\)、(イ)より\(sin\theta_1=\sqrt{\displaystyle\frac{V^2sin^2\theta-2gh}{V^2-2gh}}\)を代入すると、(ケ)と同様の式処理となり、
\(h_n=h+\displaystyle\frac{(n+1)^2}{2g}･(V^2sin^2\theta-2gh)\)
問１(i)
運動量保存則より
\(-mv_{n-1}+M_nV_0=mv_n\)
\(-ma_{n-1}V_0+M_nV_0=ma_nV_0\)
\(-mn+M_n=m(n+1)\)
\(M_n=(2n+1)m\)
よって
\(\displaystyle\frac{M_n}{m}=2n+1\) (倍)
問１(ii)
\(M_n≦10m\)のとき、
\(\displaystyle\frac{M_n}{m}=2n+1≦10\)
\(2n≦9\)
\(n≦4.5\)
よって、衝突回数の上限は４回目のときであるから、\(h=0\)の場合について、(シ)式から、
\(h_n=\displaystyle\frac{(n+1)^2}{2g}･V^2sin^2\theta\) より
\(h_4=\displaystyle\frac{(4+1)^2}{2g}V^2sin^2\theta\)
\(=25･\displaystyle\frac{V^2sin^2\theta}{2g}\)
ここで、
\(h_n=\displaystyle\frac{(n+1)^2}{2g}･V^2sin^2\theta\) より
\(h_0=\displaystyle\frac{V^2sin^2\theta}{2g}\) であるから、
\(h_4=25h_0\)
よって
\(25\) 倍
