(1)
12分で全体の\(\displaystyle\frac{7}{8}\)が崩壊したということは、12分で元の原子核の\(\displaystyle\frac{1}{8}\)しか残っていないということです。
半減期が来ると、元の量の\(\displaystyle\frac{1}{2}\)になりますので、\(\displaystyle\frac{1}{8}\)になったということは、半減期が３回分だけ経過しているということですね。
12分で半減期３回分ですので、半減期は4.0分、ということになります。
この問題の場合、数値がきれいですので、半減期の公式を使うまでもなく解けます。
(2)
20分経過の場合は(1)ほど単純に考えられる数値ではありませんので、ここから公式に手助けしてもらいましょうか。
半減期の公式は
\(\displaystyle\frac{N}{N_0}=\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\)
で表されます。
\(T\)が半減期、\(t\)が実際の経過時間ですので、例えば(1)のような設定であれば、時間単位を分として、半減期\(T=4\)、経過時間\(t=12\)なので、
\(\displaystyle\frac{N}{N_0}=\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\frac{12}{4}}=\frac{1}{8}\)
となり、確かに\(\displaystyle\frac{1}{8}\)が残留することが分かります。
いま、経過時間が\(t=20\)なので、
\(\displaystyle\frac{N}{N_0}=\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\frac{20}{4}}=\frac{1}{32}\)
となります。なのでパーセンテージで言えば、
\(\displaystyle\frac{1}{32}=0.0312...≒3.1%\)
ということになります。
(3)
同様に、公式に助けてもらいます。
\(\displaystyle\frac{2}{3}=\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{4}}\)
両辺対数とって、
\(\log_{10}\displaystyle\frac{2}{3}=\log_{10}\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{4}}\)
\(\log_{10}2+\log_{10}\displaystyle\frac{1}{3}=\displaystyle\frac{t}{4}\log_{10}\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(\log_{10}2-\log_{10}3=-\displaystyle\frac{t}{4}\log_{10}2\)
問題文に与えられている数字を代入すると、
\(0.301-0.477=\displaystyle\frac{t}{4}×0.301\)
\(0.075t=0.176\)
\(t≒2.346≒2.3\)分
となります。
