(1)
\(mg=kx_0\) より
\(\displaystyle\frac{m}{k}g\)
(2)
この問題では、つり合いの点を原点に設定していますので、おもりが原点にある時点で、すでにばねの伸びが\(x_0\)だけある状態だということを思い出してください。ここからさらに\(x\)だけおもりを引き下げたとすると、ばねの伸びは \((x+x_0)\) だけ伸びていることになります。
よって、おもりにはたらく力の合力は、鉛直下向きを正として、
\(F=mg-k(x+x_0)\)
となります。
ちなみにこの問題では、\(x\)軸が鉛直下向きに向いていて、それを前提にして問題を作問していますので、記述解答のときには、わざわざ鉛直下向きを正とすることを、宣言しなくてもいいです。
(3)
合力が求まりましたので、運動方程式を代入すると、
\(ma=F\) より
\(ma=mg-k(x+x_0)\)
(4)
さて、そしたら、この運動方程式を解きましょうか。
\(ma=mg-k(x+x_0)\) に(1)のつりあいの関係式を代入すると、
\(ma=kx_0-k(x+x_0)\)
\(ma=-kx\)
\(a=-\displaystyle\frac{k}{m}x\)
\(-\omega^2x=-\displaystyle\frac{k}{m}x\)
\(\omega=\displaystyle\sqrt{\frac{k}{m}}\)
よって、周期は
\(T=2\pi\displaystyle\sqrt{\frac{m}{k}}\)
(5)
「おもりが鉛直上向きの速度で原点を通り過ぎてから、初めて最高点に到達する」までには、\(\displaystyle\frac{1}{4}T\)だけ時間が経過すればいいですので、
\(t=\displaystyle\frac{1}{4}T\)
\(t=\displaystyle\frac{1}{4}･2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\)
\(t=\displaystyle\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{k}}\)
となりました。
