(1)
弦の間に４倍振動とか、５倍振動しているイラストを書き込んでみると分かりますが、弦の固有振動のときには、\(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\)のかたまりがくり返し現れます。
なので、弦の長さの中には\(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\)が\(n\)個ある、として関係を立式することができます。
この考え方を\(G_1\)、\(G_2\)のそれぞれの弦について適用しましょう。
\(G_1\)：\(l=\displaystyle\frac{\lambda_1}{2}･n\) より
\(\lambda_1=\displaystyle\frac{2l}{n}\) [m]
\(G_2\)：\(l=\displaystyle\frac{\lambda_2}{2}･(n+1)\) より
\(\lambda_2=\displaystyle\frac{2l}{n+1}\) [m]
(2)
\(\lambda\)が求まったので、波の基本式を使って\(V\)を求めます。
ここで、２本の弦は同じ音叉につながっていますので、振動数は同じものを使うことができます。問題文１行目に\(f\)と書いてありますね。
\(V_1=f\lambda_1\) より
\(V_1=\displaystyle\frac{2l}{n}f\) [m/s]
\(V_2=f\lambda_2\) より
\(V_2=\displaystyle\frac{2l}{n+1}f\) [m/s]
(3)
おもりの質量は同じですので、張力\(S\)の大きさも同じです。
\(V_1=\sqrt{\displaystyle\frac{S}{\rho_1}}\) ， \(V_2=\sqrt{\displaystyle\frac{S}{\rho_2}}\) より
\(\displaystyle\frac{2lf}{n}=\sqrt{\frac{S}{\rho_1}}\) ， \(\displaystyle\frac{2lf}{n+1}=\sqrt{\displaystyle\frac{S}{\rho_2}}\)
\(\displaystyle\frac{2lf}{\sqrt{S}}=\frac{n}{\sqrt{\rho_1}}\) ， \(\displaystyle\frac{2lf}{\sqrt{S}}=\frac{n+1}{\sqrt{\rho_2}}\)
よって
\(\displaystyle\frac{n}{\sqrt{\rho_1}}=\frac{n+1}{\sqrt{\rho_2}}\)
両辺２乗して、
\(\displaystyle\frac{n^2}{\rho_1}=\frac{(n+1)^2}{\rho_2}\)
\(\displaystyle\frac{\rho_1}{\rho_2}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^2\)
(4)
\(m\)を\(m+\Delta m\)とすると、張力\(S=mg\)もそれに伴って\(S'=(M+\Delta m)g\)となります。
このとき、振動の腹が一つ減って、\(n\)は\(n-1\)になる設定になっています。
これにもとづいて、(3)で書いた
\(\displaystyle\frac{2lf}{n}=\sqrt{\frac{S}{\rho_1}}\)
を書き換えます。
\(S=mg\)であることに注意して、
\(\displaystyle\frac{2lf}{n-1}=\sqrt{\frac{(m+\Delta m)g}{\rho_1}}\)
これを、上の式とあわせて、丸ごと分数にしてしまうのが計算上は一番早いかと思います。
\(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2lf}{n-1}}{\displaystyle\frac{2lf}{n}}=\frac{\sqrt{\frac{(m+\Delta m)g}{\rho_1}}}{\sqrt{\frac{mg}{\rho_1}}}\)
\(\displaystyle\frac{n}{n-1}=\sqrt{\frac{m+\Delta m}{m}}\)
両辺２乗して、
\(\left(\displaystyle\frac{n}{n-1}\right)^2=\displaystyle\frac{m+\Delta m}{m}\)
\(m+\Delta m=\left(\displaystyle\frac{n}{n-1}\right)^2m\)
\(\Delta m=\left(\displaystyle\frac{n}{n-1}\right)^2m-m\)
\(\Delta m=\displaystyle\frac{n^2}{(n-1)^2}m-\frac{(n-1)^2}{(n-1)^2}m\)
\(\Delta m=\displaystyle\frac{n^2}{(n-1)^2}m-\frac{(n^2-2n+1)}{(n-1)^2}m\)
\(\Delta m=\displaystyle\frac{n^2-n^2+2n-1}{(n-1)^2}m\)
\(\Delta m=\displaystyle\frac{2n-1}{(n-1)^2}m\) [kg]
