この問題は、２物体の落体問題なので、物体Aか物体Bのどちらかは原点スタートに設定できますが、どちらかは犠牲にならなければいけません。今回、物体Aが最初にいる位置を原点としているので、物体Bは原点スタートにはできません。
(1)
まず、物体Aと物体Bが、何秒後にどの高さにいるのかを求めます。
次に、その高さが同じになるときがいつなのかを考えます。
すると、同じ時間に同じ高さにいる設定がでてきて、これをもって衝突したと示せるわけです。
さて、さっそく物体Aの高さを公式そのまま利用して書き出しましょう。
初速度\(v_0\)を\(V\)と書く設定になっています。
鉛直上向きを正として、
\(y_A=Vt-\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)
次に、物体Bの高さを書き出します。
自由落下の高さの公式は、鉛直下向きを正として、
\(y=\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)
ですが、この公式は「１物体の自由落下」の公式で、原点スタートなのが前提となっています。
物体Bは、\(t=0\)の時点ですでに\(H\)の高さにあるので、その部分の調整をして、自由落下の式を書くと、鉛直上向きを正として、
\(y_B=H-\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)
となります。
第一項の\(H\)は、初期位置と言われるもので、初期条件の一つです。
\(t=0\)のとき、\(y=H\)でなければいけないので、調整のためについています。
第二項は、鉛直上向きを正と設定されている問題なので、符号がマイナスになっています。
衝突する瞬間では、\(y_A=y_B\)となるので、この瞬間を\(t\)とすると
\(Vt-\displaystyle\frac{1}{2}gt^2=H-\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)
\(Vt=H\)
\(t=\displaystyle\frac{H}{V}\)
(2)
\(t=\displaystyle\frac{H}{V}\)のときに衝突します。
このとき、２つの小球が衝突する高さは、
\(y_B=H-\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) より
\(y=H-\displaystyle\frac{1}{2}g\left(\frac{H}{V}\right)^2\)
\(y=H-\displaystyle\frac{gH^2}{2V^2}\)
となりました。衝突する高さ\(y\)は、\(y_A\)から求めても、\(y_B\)から求めても、どちらから求めても出てきますので、式変形の２行目から単純に\(y\)を使うことにしました。同じ値を意味しますからね。
ただし、この式は単純に数式を変形して出てきた式ですので、例えば仮に、物体Aを打ち上げる勢いが弱くて、\(V\)が小さい値だったとすると、第二項が大きい値になりますので、\(y\)が負になる可能性もあるわけです。地面が無かったとしたら、ずっと下の方で衝突が起こるだろう、ということまで数式で表現できているという、すんばらしい意味合いを持つ式なのですが、実際問題としては現実的ではありません。そこで次の問題設定があるわけです。
(3)
衝突したときの高さが空中であるということは、\(y>0\)であればいいので、
\(H-\displaystyle\frac{gH^2}{2V^2}>0\)
\(H>\displaystyle\frac{gH^2}{2V^2}\)
\(2V^2H>gH^2\)
\(2V^2>gH\)
\(V^2>\displaystyle\frac{gH}{2}\)
\(V>\sqrt{\displaystyle\frac{gH}{2}}\)
