水平投射では、水平方向には等速直線運動、鉛直方向には自由落下を行っていると考え、軸を独立させて考えます。
(1)
初速度\(v_0\)で等速直線運動するので、
\(x=v_0t[m]\)
問題文に単位の指定があるので、単位もつけて解答しましょう。
(2)
鉛直方向には自由落下を行うので、鉛直上向きを正として、
\(v_y=-gt[m/s]\)
\(y\)軸が鉛直上向きに設定されているので、「鉛直下向きを正」とした解答は不正解になってしまいます。
ここでは座標が聞かれているので、解答は負の値を持たなければならないはずです。
(3)
軌道を表す式のことを「軌道方程式」と言います。この軌道方程式の導出は、\(x\)の変位の式と、\(y\)の変位の式を連立させて、\(t\)を消去します。
\(y=○○x\)とか、\(y=○○x^2\)というような形を目指します。
このような式を、「\(y\)を\(x\)の関数で表す」とも言います。
鉛直上向きを正として、
\(y=-\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)
また、(1)の\(x=v_0t\) より
\(t=\displaystyle\frac{x}{v_0}\) を代入して、
\(y=-\displaystyle\frac{1}{2}g･\left(\frac{x}{v_0}\right)^2\)
\(y=-\displaystyle\frac{g}{2v_0^2}･x^2[m]\)
\(x^2\)が分子に乗っていないといけないとか、分数の右に書かないといけないとか、そういうルールはありません。
ただ、慣例で\(x^2\)とその係数、というデザインにしてあります。
(4)
斜面の傾斜が伏角\(45°(-45°)\)なので、斜面をグラフの直線のように考えて、立式すると、
\(y=-x\)
となります。
また、(3)で導出した軌道方程式は原点に頂点がある上に凸の放物線です。
これら２つをグラフ上の線で考えると、原点と、もう一か所別の所に交点がありますね。
この交点こそが、斜面上に落下した点となり、そこまでに描いた二次関数の曲線が軌道を表すことになります。
よって、落下地点を\(x_1、y_1\)とした、
\(y_1=-x_1\) -----(斜面の式)
\(y_1=-\displaystyle\frac{g}{2v_0^2}･x_1^2\) -----(軌道方程式)
を連立して、\(x_1、y_1\)をそれぞれ求めると、
\(-x_1=-\displaystyle\frac{g}{2v_0^2}･x_1^2\)
\(x_1≠0\) なので両辺割って
\(1=\displaystyle\frac{g}{2v_0^2}･x_1\)
\(\displaystyle\frac{2v_0^2}{g}=x_1\)
\(x_1=\displaystyle\frac{2v_0^2}{g}[m]\)
