(1)
初速度\(v_0\)を分解しましょう。
水平初速度が \(v_{0x}=v_0\cos\theta\)
鉛直初速度が \(v_{0y}=v_0\sin\theta\)
ですね。
斜方投射では、水平方向には重力や、そのほかの力が加わっていませんので、等速度運動をします。なので、等速度運動の公式「距離＝速さ×時間」を使うと、
\(L=v_{0x}t\) より
\(t=\displaystyle\frac{L}{v_{0x}}\)
\(t=\displaystyle\frac{L}{v_0\cos\theta}\)
と求めることができます。斜方投射の問題では、水平方向の運動と鉛直方向の運動を切り分けて、独立させた問題と読み替えることで、難しそうな問題も簡単な問題にレベルダウンさせることができますので、念頭に置いておきましょう。
(2)
これを斜方投射の高さの式に代入します。小球の高さを\(y\)として、
\(y=v_0\)\(t\)\(-\displaystyle\frac{1}{2}g\)\(t^2\) より
\(y=v_0\sin\theta×\)\(\displaystyle\frac{L}{v_0\cos\theta}\)\(-\displaystyle\frac{g}{2}\)\(\displaystyle\frac{L^2}{v_0^2\cos^2\theta}\)
\(y=\displaystyle\frac{L\sin\theta}{\cos\theta}-\frac{gL^2}{2v_0^2\cos^2\theta}\)
この髙さが、床より高ければいいので\(y>0\)であってほしいわけです。
すると、
\(\displaystyle\frac{L\sin\theta}{\cos\theta}-\frac{gL^2}{2v_0^2\cos^2\theta}>0\)
両辺を\(2v_0^2\cos^2\theta\)倍して、
\(2v_0^2L\sin\theta\cos\theta-gL^2>0\)
両辺を\(L (≠0)\)で割って、
\(2v_0^2\sin\theta\cos\theta-gL>0\)
\(2v_0^2\sin\theta\cos\theta>gL\)
\(v_0^2>\displaystyle\frac{gL}{2\sin\theta\cos\theta}\)
\(v_0>\displaystyle\sqrt{\frac{gL}{2\sin\theta\cos\theta}}\)
となりました。
