この問題は、基本問題53のように、まず重力を作図して、その逆向きの力を２本の糸の向きに分解、という解き方で解こうとすると、変な角度が出てきて、けっこうややこしいことが起こります。
この問題は、上に引き上げている２つの力の角度が元から分かっているので、直接それぞれ縦軸と横軸に分解してしまう方が早いです。
\(F_1\)については、角度が\(45°\)なので、分力はどちらも\(\displaystyle\frac{F_1}{\sqrt{2}}\)となります。
\(F_2\)については、\(1:2:\sqrt{3}\)の比を利用して、水平方向への分力が\(\displaystyle\frac{F_2}{2}\)、鉛直方向への分力は、その\(\sqrt{3}\)倍なので、\(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}F_2\)
となります。
これらが、水平方向は水平方向で、鉛直方向は鉛直方向で力がつり合いますので、
[水平方向] \(\displaystyle\frac{F_1}{\sqrt{2}}\)\(=\)\(\displaystyle\frac{F_2}{2}\)
[鉛直方向] \(\displaystyle\frac{F_1}{\sqrt{2}}\)\(+\)\(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}F_2\)\(=\)\(W\)
と立式できます。
水平方向の式を、そのまま鉛直方向の式に代入できそうです。
\(\displaystyle\frac{F_2}{2}\)\(+\)\(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}F_2\)\(=\)\(W\)
両辺2倍して、
\(F_2\)\(+\)\(\sqrt{3}F_2\)\(=\)\(2W\)
\((1+\sqrt{3})F_2=2W\)
\(F_2=\displaystyle\frac{2W}{1+\sqrt{3}}\)
ここで終わっても問題ないですが、有理化すると、もう少しシンプルな形で表現もできます。
\(F_2=\displaystyle\frac{2W}{1+\sqrt{3}}\)\(×\displaystyle\frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\)
\(=\displaystyle\frac{2(1-\sqrt{3})W}{1-3}\)
\(=(\sqrt{3}-1)W[N]\)
\(F_2\)が出てしまえば、あとは連立式のどちらかに代入すれば、\(F_1\)も求まりますね。
例えば、水平方向のつり合いの式に代入すれば、
[水平方向] \(\displaystyle\frac{F_1}{\sqrt{2}}\)\(=\)\(\displaystyle\frac{F_2}{2}\)
\(\displaystyle\frac{F_1}{\sqrt{2}}\)\(=\)\(\displaystyle\frac{(\sqrt{3}-1)W}{2}\)
\(\sqrt{2}\)を移項して、
\(F_1\)\(=\)\(\sqrt{2}\)\(×\)\(\displaystyle\frac{(\sqrt{3}-1)W}{2}\)
\(=\displaystyle\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})W}{2}[N]\)
