気体の内部エネルギーは、気体それぞれの運動エネルギーの和であると考えることができます。
\(N×\displaystyle\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}nRT\)
こうですね。ここで、左辺の\(N\)は分子の総数ですが、いま右辺を見ると、気体が\(n[mol]\)ある話をしていることがわかりますね。
なので、\(N=nN_A\)としておいて、\(N_A(=6×10^{23})\)個が\(n[mol]\)あると考えると、
\(nN_A×\displaystyle\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}nRT\)
となり、これを移項すると、気体分子一つ分の運動エネルギーの式
\(\displaystyle\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}\frac{R}{N_A}T\)
を得ることができます。
ここで、右辺に現れる \(\displaystyle\frac{R}{N_A}\) は、気体分子一つ分の気体定数を意味していて、これを\(k\)と置き、ボルツマン定数と呼んでいます。
つまり、気体分子一つ分の運動エネルギーの式は
\(\displaystyle\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}kT\)
であり、これが実は公式です。
▼気体一分子のもつ運動エネルギー
\(\displaystyle\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}kT\)
それさえ知っていれば、あとは数値を代入するだけですので、公式を知っていますよ、という人は早いですね。
\(\displaystyle\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}kT\) より
\(\displaystyle\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}×1.38×10^{-23}×200\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}m\overline{v^2}=4.14×10^{-21} [J]\)
で計算自体は終わりです。
