(1)
内部エネルギーの公式は
\(U=\displaystyle\frac{3}{2}nRT\)
です。今\(n=1[mol]\)であることと、気体定数の代わりにボルツマン定数を使わないといけないことを考慮します。
ボルツマン定数は気体分子１つあたりの気体定数ですので、気体定数\(R\)をアボガドロ定数\(N_A\)で割ると表せて、
\(k=\displaystyle\frac{R}{N_A}\)
です。なので、\(R=kN_A\)と書き換えると、
\(U=\displaystyle\frac{3}{2}kN_AT\)
となります。
(2)
熱力学第一法則は、気体が外部に仕事をする向きを仕事の正の向きとすれば、
\(\Delta U = Q + W\)
と書けます。
体積が一定のとき、ピストンは動きませんので、気体は外部に仕事をしません。仕事を「力×距離」で考えたとき、ピストンが動かないので、距離がゼロ、と解釈するといいと思います。
よって熱力学第一法則は
\(\Delta U = Q\)
となるので、温度を１度だけ上昇させるときのエネルギーは、(1)で求めた内部エネルギーの公式において、\(\Delta T=1\)として、
\(Q=\displaystyle\frac{3}{2}kN_A\)
(3)
温度が一定なら\(\Delta T=0\)ですので、内部エネルギーも変化しません。
よって１倍。
(4)
圧力が一定のときは、シャルルの法則から、温度変化と体積変化が比例します。
つまり、体積を\(\alpha\)倍したときには、温度も\(\alpha\)倍されるので、道連れで内部エネルギーも\(\alpha\)倍されます。
