■解答
(イ) \(v_0Bl\) (ロ) ① (ハ) \(-L\displaystyle\frac{\Delta i}{\Delta t}\)
(ニ) \(vBl\) (ホ) \(vBl-L\displaystyle\frac{\Delta i}{\Delta t}=0\) (ヘ) \(i(t)=\displaystyle\frac{Blx(t)}{L}\)
(ト) \(-iBl\) (チ) \(-\displaystyle\frac{B^2l^2}{L}･x\)
問１ \(x=0\)を中心として、振幅\(\displaystyle\frac{\sqrt{ML}}{Bl}v_0\)、周期\(2\pi\displaystyle\frac{\sqrt{ML}}{Bl}\)の単振動を行う
問２ \(\omega=10rad/s\) \(T≒0.63s\) \(A=1.0×10^{-2}\) \(i_{max}=1.0A\)
■解説
(イ)
導線は初速度\(v_0\)で動くので、このときの誘導起電力の大きさは、
\(v_0Bl\)
(ロ)
\(abcd\)の面積が増加することで、紙面の表からウラ向きに貫く磁束が増加する。これを妨げるために、紙面のウラから表向きに貫く磁束が生じ、誘導電流は\(abcd\)回りに流れる。
よって ①
(ハ)
自己誘導は、回路を流れる電流の変化\(\Delta i\)と逆向きの符号を持つ起電力が生じるので、
\(-L\displaystyle\frac{\Delta i}{\Delta t}\)
(ニ)
(イ)と同様に
\(vBl\)
(ホ)
キルヒホッフ第二法則より
\(vBl-L\displaystyle\frac{\Delta i}{\Delta t}=0\)
(ヘ)
\(v\)を\(\displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\)とすると、(ホ)は、
\(\displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}Bl-L\frac{\Delta i}{\Delta t}=0\)
となる。この微分方程式の両辺を\(t\)で積分することで、問題文に与えられるように、
\(Bl･x(t)-L･i(t)=C\) (\(C\)は時間に依存しない定数) ――(＊)
が成り立つ。いま、\(t=0\)で、\(x=0\)、\(i=0\)であるから、
\(Bl･x(0)-L･i(0)=C\)
\(0=C\)
となり、定数は\(C=0\)と分かる。ゆえに(＊)式は、
\(Bl･x(t)-L･i(t)=0\)
よって、
\(i(t)=\displaystyle\frac{Blx(t)}{L}\)
(ト)
誘導現象は、変化を妨げる向きに生じるので、導線を\(x\)軸正の向きに動かすと、\(x\)軸負の向きに力をうける。
よって \(-iBl\)
(チ)
運動方程式は
\(M\alpha=F\) より
\(M\alpha=-iBl\)
\(=-\displaystyle\frac{Blx}{L}･Bl\)
\(=-\displaystyle\frac{B^2l^2}{L}･x\)
問１
導線は、復元力をうけているので、単振動をしていると分かる(中心は\(x=0\))
ゆえに、運動方程式を解くと、
\(\alpha=-\displaystyle\frac{B^2l^2}{ML}x\)
左辺に単振動の加速度の式を適用すると、
\(-\omega^2 x=-\displaystyle\frac{B^2l^2}{ML}x\)
\(\omega=\sqrt{\displaystyle\frac{B^2l^2}{ML}}\)
また、周期は
\(T=\displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\) より
\(T=2\pi\displaystyle\frac{\sqrt{ML}}{Bl}\)
さらに、振幅は、
\(v_0=A\omega\) より
\(v_0=A\displaystyle\frac{Bl}{\sqrt{ML}}\)
\(A=\displaystyle\frac{\sqrt{ML}}{Bl}v_0\)
となるので、導線は、
\(x=0\)を中心として、振幅\(\displaystyle\frac{\sqrt{ML}}{Bl}v_0\)、周期\(2\pi\displaystyle\frac{\sqrt{ML}}{Bl}\)の単振動を行う
問２
\(\omega=\displaystyle\frac{Bl}{\sqrt{ML}}\)
\(=\displaystyle\frac{1.0･0.10}{\sqrt{0.10･1.0×10^{-3}}}\)
\(=10rad/s\)
\(T=\displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\) より
\(T=\displaystyle\frac{2\pi}{10}\)
\(≒0.63s\)
\(A=\displaystyle\frac{v_0}{\omega}\)
\(=\displaystyle\frac{0.10}{10}\)
\(=1.0×10^{-2}m\)
\(i=\displaystyle\frac{Blx}{L}\) より
\(i_{max}=\displaystyle\frac{BlA}{L}\)
\(=\displaystyle\frac{1.0･0.10･1.0×10^{-2}}{1.0×10^{-3}}\)
\(=1.0A\)
