■解答
(ア) \(\displaystyle\frac{p_1V_1}{RT_1}\) (イ) \(\alpha^{\frac{2}{5}}\) (ウ) \(\displaystyle\frac{3}{2}(\alpha^{\frac{2}{5}}-1)\)
(エ) \(\displaystyle\frac{3}{2}(1-\alpha^{\frac{2}{5}})p_1V_1\) (オ) \(\alpha^{-\frac{3}{5}}-1\) (カ) \((1-\alpha^{\frac{3}{5}})\displaystyle\frac{p_1V_1}{RT_1}\)
(キ) \(p_2V_2\) (ク) \(\displaystyle\frac{3(1-\beta)}{5\beta}\) (ケ) \(\displaystyle\frac{3+2\beta}{5}\)
(コ) \(\displaystyle\frac{3(1-\beta)}{3+2\beta}\frac{p_1V_1}{RT_1}\)
■解説
(ア)
容器内にある気体の物質量を\(n\)とすると、状態方程式から、
\(p_1V_1=nRT_1\)
\(n=\displaystyle\frac{p_1V_1}{RT_1}\)
(イ)
ポアソンの法則((1)式)より、断熱変化すると気体の体積\(V\)は
\(p_1V_1^{\frac{5}{3}}=(\alpha p_1)･V^{\frac{5}{3}}\)
\(V_1^{\frac{5}{3}}=\alpha V^{\frac{5}{3}}\)
\(V=\alpha^{-\frac{3}{5}} V_1\)
となる。なので、断熱膨張後の気体の温度を\(T\)として状態方程式を立てると、
\((\alpha p_1)･(\alpha^{-\frac{3}{5}} V_1)=\displaystyle\frac{p_1V_1}{RT_1}･R･T\)
\(\alpha ･\alpha^{-\frac{3}{5}}=\displaystyle\frac{T}{T_1}\)
\(\alpha^{\frac{2}{5}}=\displaystyle\frac{T}{T_1}\)
\(T=\alpha^{\frac{2}{5}}T_1\)
(ウ)
内部エネルギーの公式は、一般的には \(U=nC_VT\) ですが、この問題では単原子分子理想気体を考えているので、\(C_V=\displaystyle\frac{3}{2}R\) であると指定されています。なので、内部エネルギーを \(U=\displaystyle\frac{3}{2}nRT\) として使うことができます。
内部エネルギーの式をこの形ありきで覚えている人は、単原子分子理想気体の内部エネルギーの式が \(U=\displaystyle\frac{3}{2}nRT\) だ、というところまで押さえておきましょう。一般的には、内部エネルギーは \(U=nC_VT\) です。
さて、いま内部エネルギーの増加量を問われていますので、
\(\Delta U=\displaystyle\frac{3}{2}nR\Delta T\)
\(\Delta U=\displaystyle\frac{3}{2}･\frac{p_1V_1}{RT_1}･R･(T-T_1)\)
\(\Delta U=\displaystyle\frac{3}{2}･\frac{p_1V_1}{T_1}･(T-T_1)\)
(イ)を代入して、
\(\Delta U=\displaystyle\frac{3}{2}･\frac{p_1V_1}{T_1}･\left(\alpha^{\frac{2}{5}}-1\right)T_1\)
\(\Delta U=\displaystyle\frac{3}{2}\left(\alpha^{\frac{2}{5}}-1\right)p_1V_1\)
(エ)
気体が外部になした仕事を\(+W\)となるように仕事の正の向きを定めます。
すると、熱力学第一法則より、
\(Q=\Delta U+W\)
いま、断熱変化なので\(Q=0\)となり、
\(W=-\Delta U\)
よって
\(W=\displaystyle\frac{3}{2}\left(1-\alpha^{\frac{2}{5}}\right)p_1V_1\)
(オ)
(イ)より、\(V=\alpha^{-\frac{3}{5}} V_1\) なので、シリンダー内の体積は、
\(V-V_1=\left(\alpha^{-\frac{3}{5}} -1\right) V_1\)
(カ)
シリンダー内のみの部分について、状態方程式を立てる。このとき、シリンダー内にある物質量を\(n_2\)とする。
\((\alpha p_1)･ \left(\alpha^{-\frac{3}{5}}-1\right) V_1=n_2･R･(\alpha^{\frac{2}{5}}T_1)\)
\(n_2=\displaystyle\frac{p_1V_1}{RT_1}･\alpha \left(\alpha^{-\frac{3}{5}}-1\right) \alpha^{-\frac{2}{5}}\)
\(n_2=\displaystyle\frac{p_1V_1}{RT_1} \left(1-\alpha^{\frac{3}{5}} \right)\)
(キ)
気体が外部に仕事をするのは、シリンダー内部の気体が増えていく過程のみです。
いま都合がいいことに、シリンダー内の気圧は\(p_2\)で保たれていますので、この圧力で\(\Delta V\)だけ体積が増加したときの仕事量を考えればいいですね。
よって、
\(W=p\Delta V\)
\(W=p_2V_2\)
この過程は圧力が一定ですが、多孔質体からじわじわと気体が漏れ出てきていて、シリンダー内の物質量は刻々と変わっています。こういうときの過程は「定圧変化」とは言いません。単に圧力が一定だった、というだけの変化です。
(ク)
系全体に注目して、内部エネルギーを求めます。
シリンダー内に気体がまだ染み出していないとき、
\(U_{前}=\displaystyle\frac{3}{2}p_1V_1\)
次に、シリンダー内に気体が染み出したときの内部エネルギーを求めます。
\(U_{後}=\displaystyle\frac{3}{2}p_2(V_1+V_2)\)
これをエネルギー保存の式でつなげばいいですが、最初に持っていた内部エネルギーのうち一部分を、ピストンを動かすための仕事\(W=p_2V_2\)として使うため、エネルギーで等式を立てると、
\(U_{前}=U_{後}+W\)
となります。
よって、
\(\displaystyle\frac{3}{2}p_1V_1=\frac{3}{2}p_2(V_1+V_2)+p_2V_2\)
\(\displaystyle\frac{3}{2}p_1V_1=\frac{3}{2}p_2V_1+\frac{5}{2}p_2V_2\)
\(3p_1V_1=3p_2V_1+5p_2V_2\)
\(3V_1=3\beta V_1+5\beta V_2\)
\(5\beta V_2=3(1-\beta)V_1\)
\(V_2=\displaystyle\frac{3(1-\beta)}{5\beta}V_1\)
(ケ)
系全体について、状態方程式を立てると、
\(p_2(V_1+V_2)=nRT\)
\(p_2\left(1+\displaystyle\frac{3-3\beta}{5\beta}\right)V_1=\frac{p_1V_1}{RT_1}･RT\)
\(\beta･\displaystyle\frac{3+2\beta}{5\beta}=\frac{T}{T_1}\)
\(T=\displaystyle\frac{3+2\beta}{5}T_1\)
(コ)
物質量を\(n'_2\)として、シリンダー側だけについて、状態方程式を立てると、
\(p_2V_2=n'_2RT\)
\(\beta p_1･\displaystyle\frac{3(1-\beta)}{5\beta}V_1=n'_2R･\frac{3+2\beta}{5}T_1\)
\(3(1-\beta)p_1V_1=n'_2(3+2\beta)RT_1\)
\(n'_2=\displaystyle\frac{3(1-\beta)p_1V_1}{(3+2\beta)RT_1}\)
一応まとめてみましたが、置いている文字が重複してたり、定義なしで使っていたり、いろいろ雑な感じになっていますので、使うときはその辺のところは自分で直しながら使ってください。
