■解答
(イ) \(m\displaystyle\frac{V^2}{r}\) (ロ) \(\displaystyle\frac{2\Delta r}{r}\) (ハ) \(mV\)
(ニ) \(\displaystyle\frac{V}{r}\) (ホ) \(\displaystyle\frac{2V}{r^2}\) (ヘ) \(\displaystyle\frac{\omega}{E}\)
(ト) ② (チ) \(\displaystyle\frac{m}{Mg}\) (リ) \(\displaystyle\frac{3Mg}{r}\)
(ヌ) \(\displaystyle\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{M}}\)
■解説
(イ)
小物体とともに動く系から見ると、張力と遠心力がつり合っているので、
\(m\displaystyle\frac{V^2}{r}\)
(ロ)
小物体の得るエネルギーの増分\(\Delta E\)が与えられているので、誘導に乗って計算していきましょう。
\(\Delta E=T\Delta r\)
ここに(イ)を代入して、
\(\Delta E=\displaystyle\frac{mV^2}{r}\Delta r\)
ここで、元々の運動エネルギー\(E\)は
\(E=\displaystyle\frac{1}{2}mV^2\)
ですので、\(mV^2=2E\)を代入すると、
\(\Delta E=\displaystyle\frac{2E}{r}\Delta r\)
\(\displaystyle\frac{\Delta E}{E}=\frac{2\Delta r}{r}\)
(ハ)
これも与えられている物理量をもとに、誘導に乗っていきましょう。
ひもを引くことで変化する運動エネルギー\(\Delta E\)は、
\(\Delta E=\displaystyle\frac{1}{2}m(V+\Delta V)^2-\frac{1}{2}mV^2\)
\(\Delta E=\displaystyle\frac{mV^2}{2}\left(1+\frac{\Delta V}{V}\right)^2-\frac{1}{2}mV^2\)
\(\Delta E≒\displaystyle\frac{mV^2}{2}\left(1+\frac{2\Delta V}{V}\right)-\frac{mV^2}{2}\)
\(\Delta E=mV\Delta V\)
(ニ)
一方、\(\Delta E\)は(ロ)でも計算されていますので、
\(\Delta E=\displaystyle\frac{mV^2}{r}\Delta r\) より
\(mV\Delta V=\displaystyle\frac{\Delta r}{r}mV^2\)
\(r\Delta V=V\Delta r\)
\(\Delta V=\displaystyle\frac{V}{r}\Delta r\)
この式は変数分離すると
\(\displaystyle\frac{\Delta V}{V}=\frac{\Delta r}{r}\)
となっていて、この関係をあとで使います。
(ホ)
\(r\)と\(V\)が変化すると\(\omega\)も増える、とありますので、
\(\omega+\Delta \omega=\displaystyle\frac{V+\Delta V}{r-\Delta r}\)
ここに(ニ)の関係を適用して\(\Delta V\)を消します。
\(\omega+\Delta \omega=\displaystyle\frac{V+\frac{V}{r}\Delta r}{r-\Delta r}\)
\(=\displaystyle\frac{V}{r}\left(\frac{1+\frac{\Delta r}{r}}{1-\frac{\Delta r}{r}}\right)\)
\(=\displaystyle\frac{V}{r}\left(1+\frac{\Delta r}{r}\right)\left(1-\frac{\Delta r}{r}\right)^{-1}\)
\(≒\displaystyle\frac{V}{r}\left(1+\frac{\Delta r}{r}\right)^2\)
\(≒\displaystyle\frac{V}{r}\left(1+\frac{2\Delta r}{r}\right)\)
\(\Delta \omega=\displaystyle\frac{2V\Delta r}{r^2}\) \(\left(=\displaystyle\frac{2\Delta r}{r}\omega\right)\)
よって
\(\displaystyle\frac{\Delta \omega}{\Delta r}=\frac{2V}{r^2}\)
(ヘ)
これも(ホ)と同様の手続きで式変形していきましょう。
\(\displaystyle\frac{\omega+\Delta \omega}{E+\Delta E}=\frac{\omega}{E}\left(\frac{1+\frac{\Delta \omega}{\omega}}{1-\frac{\Delta E}{E}}\right)\)
(ロ)から、\(\displaystyle\frac{\Delta E}{E}=\frac{2\Delta r}{r}\)
(ホ)から、\(\displaystyle\frac{\Delta \omega}{\omega}=\frac{2\Delta r}{r}\)
を借りてきて、
\(=\displaystyle\frac{\omega}{E}･\frac{1+\frac{2\Delta r}{r}}{1+\frac{2\Delta r}{r}}\)
\(=\displaystyle\frac{\omega}{E}\)
(ト)
すると、\(\displaystyle\frac{\omega+\Delta \omega}{E+\Delta E}=\frac{\omega}{E}\)となりますので、\(E\)や\(\omega\)が変化しても、その比は ②一定である ということになります。
(チ)
最初の状態で張力\(T\)にちょうどつり合う力を与える質量\(M\)のおもり\(B\)を取り付けると、そのつり合いの関係から、
\(m\displaystyle\frac{V^2}{r}=Mg\)
\(r=\displaystyle\frac{m}{Mg}V^2\)
(リ)
おもりを下に引くと、遠心力が強くなり上向きの力を受けます。このとき、おもりにはたらく合力は、鉛直上向きを正として、
\(F=m\displaystyle\frac{(V+\Delta V)^2}{r-\Delta r}-Mg\)
\(=m\displaystyle\frac{V^2}{r}･\frac{(1+\frac{\Delta V}{V})^2}{1-\frac{\Delta r}{r}}-Mg\)
ここで、最初にある\(m\displaystyle\frac{V^2}{r}\)は、(チ)での関係の通り\(Mg\)と置き換えてもいいですから、
\(F=Mg\displaystyle\frac{(1+\frac{\Delta V}{V})^2}{1-\frac{\Delta r}{r}}-Mg\)
\(=Mg\left(1+\displaystyle\frac{\Delta V}{V}\right)^2\left(1-\displaystyle\frac{\Delta r}{r}\right)^{-1}-Mg\)
\(≒Mg\left(1+\displaystyle\frac{2\Delta V}{V}\right)\left(1+\displaystyle\frac{\Delta r}{r}\right)-Mg\)
\(≒Mg\left(\displaystyle\frac{2\Delta V}{V}+\frac{\Delta r}{r}\right)\)
(ニ)の結論から、\(\displaystyle\frac{\Delta V}{V}=\frac{\Delta r}{r}\)を借りてきて、
\(F=Mg\left(\displaystyle\frac{2\Delta r}{r}+\frac{\Delta r}{r}\right)\)
\(F=Mg･\displaystyle\frac{3\Delta r}{r}\)
\(F=\displaystyle\frac{3Mg}{r}\Delta r\)
これを\(k\Delta r\)とすると、\(k=\displaystyle\frac{3Mg}{r}\)となり、復元力の問題のように考えることができますね、と問題文が続いています。
(ヌ)
\(k\)を\(k\)のまま使っていいとして、そうすると単振動の振動数がどうなるでしょうかという問題です。
公式からいきなり
\(f=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{M}}\)
ですよ、としてもいいんですが、あまりにも直感的ですので、一応導出しておきましょうか。
運動方程式から
\(M\alpha=-k\Delta r\)
加速度の部分に単振動の加速度の公式 \(a=-\omega^2 x\) を適用すると、
\(-M･ \omega^2 \Delta r=-k\Delta r\)
\(\omega=\sqrt{\displaystyle\frac{k}{M}}\)
\(\omega=2\pi f\)なので、
\(2\pi f=\sqrt{\displaystyle\frac{k}{M}}\)
\(f=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{M}}\)
