■解答
(イ) \(l\displaystyle\frac{k}{m}\) (ロ) \(\displaystyle\frac{M}{M+m}\) (ハ) \(\displaystyle\frac{Mm}{M+m}\)
(ニ) \(\displaystyle\sqrt{\frac{m(M+m)}{kM}}\) (ホ) \(\sqrt{2gR}\) (ヘ) \(2\sqrt{gR}\)
(ト) \(2-\sqrt{2}\) (チ) \(\sqrt{2}\)
■解説
(イ)
エネルギー保存則より
\(\displaystyle\frac{1}{2}kl^2=\frac{1}{2}mv_0^2\)
\(v_0=l\sqrt{\displaystyle\frac{k}{m}}\)
(ロ)
運動量保存則より
\((M+m)v=M(v'-u)+mv'\)
\((M+m)v=(M+m)v'-Mu\)
\((M+m)v'=(M+m)v+Mu\)
\(v'=v+\displaystyle\frac{M}{M+m}u\)
よって
\(a=\displaystyle\frac{M}{M+m}\)
(ハ)
２台の台車の運動エネルギーの和は
\(E=\displaystyle\frac{1}{2}M(v'-u)^2+\frac{1}{2}mv'^2\)
\(E=\displaystyle\frac{1}{2}M\left(v+\frac{M}{M+m}u\right)^2+\frac{1}{2}m\left(v+\frac{M}{M+m}u\right)^2\)
\(E=\displaystyle\frac{M}{2}\left(v-\frac{m}{M+m}u\right)^2+\frac{m}{2}\left(v+\frac{M}{M+m}u\right)^2\)
\(E=\displaystyle\frac{M}{2}\left(v^2-\frac{2m}{M+m}vu+\frac{m^2}{(M+m)^2}u^2\right)+\frac{m}{2}\left(v^2+\frac{2M}{M+m}vu+\frac{M^2}{(M+m)^2}u^2\right)\)
\(E=\displaystyle\frac{M+m}{2}v^2+\frac{Mm^2+mM^2}{2(M+m)^2}u^2\)
\(E=\displaystyle\frac{1}{2}･\frac{Mm}{M+m}u^2\)
(ニ)
連結した系を一体とみなすと、重心は速さ\(v\)で等速運動をしています。
なので、力学的エネルギーは
\(E=\displaystyle\frac{1}{2}(M+m)v^2+\frac{1}{2}kl^2\)
となります。こののち連結が解放されたあとの力学的エネルギーは問題文のとおり
\(E=\displaystyle\frac{1}{2}(M+m)v^2+\frac{1}{2}bu^2\)
なので、力学的エネルギー保存則より
\(\displaystyle\frac{1}{2}(M+m)v^2+\frac{1}{2}kl^2=\frac{1}{2}(M+m)v^2+\frac{1}{2}bu^2\)
\(u=l\sqrt{\displaystyle\frac{k}{b}}\)
これを
\(v'=v+\displaystyle\frac{M}{M+m}u\)
に代入すると、
\(v'=v+\displaystyle\frac{M}{M+m}l\sqrt{k\displaystyle\frac{M+m}{Mm}}\)
\(v'=v+l\displaystyle \sqrt{\frac{kM}{(M+m)m}}\)
よって
\(T=\sqrt{\displaystyle\frac{m(M+m)}{kM}}\)
(ホ)
位置Pを高さの基準として、PQ間で力学的エネルギー保存則を考えると、
\(\displaystyle\frac{1}{2}(M+m)v_1^2=(M+m)gR\)
\(v_1=\sqrt{2gR}\)
(ヘ)
位置Pとループの最高点で力学的エネルギー保存則を考えると、
\(\displaystyle\frac{1}{2}mv'^2=mg･2R\)
\(v'=\sqrt{4gR}=2\sqrt{gR}\)
(ト)
(ロ)の前の式を借りてくると、
\(v'=v_1+\displaystyle\frac{l_P}{T}≧2\sqrt{gR}\) となればいいので
\(\sqrt{2gR}+\displaystyle\frac{l_P}{T}≧2\sqrt{gR}\)
\(\displaystyle\frac{l_P}{T}≧(2-\sqrt{2})\sqrt{gR}\)
\(l_P≧(2-\sqrt{2})×T\sqrt{gR}\)
(チ)
位置Qでは\(v_1=0\)なので
\(v'=0+\displaystyle\frac{l_Q}{T}≧2\sqrt{gR}\) となればいいので
\(l_Q≧\sqrt{2}×T\sqrt{gR}\)
