ドップラー効果の公式確認
前講で紹介したドップラー効果の公式を改めて確認しておきます。
▼ドップラー効果
\(f=\displaystyle\frac{V-v_o}{V-v_s}f_0\)
\(f[Hz]\)：見かけの振動数 \(f_0[Hz]\)：音源の振動数
\(V[m/s]\)：音速
\(v_o[m/s]\)：観測者が音源から離れる速さ
\(v_s[m/s]\)：音源が音の向きに進む速さ
今回は、この公式を使いながら、音が反射する場合のドップラー効果について考えてみようかと思います。
おんさの先に反射板があると、うなりが聞こえる
振動数\(f_0\)の音を出すおんさ\(S\)の両側に観測者\(P\)と反射板\(R\)があるとします。
いま、観測者\(P\)が静止していて、おんさ\(S\)が速さ\(v\)、反射板\(R\)が速さ\(2v\)で\(P\)から遠ざかるように動いているとします。
このとき、観測者\(P\)は、おんさから直接聞く音と、反射板で反射される音を同時に聞くことになりますが、ドップラー効果によってそれぞれ異なる振動数を聞くことになるため、その振動数の違いから、うなりを聞くことになります。
このときのうなりの振動数(１秒間に何回のうなりを聞くか)を求めてみようかと思います。
おっと。いい忘れていました。音速は\(V\)ということにしておいて、風も吹いていないことにしましょう。風が吹いていると、空気が動きますので、音速は風速の分だけ空気とともに数値が変わってしまいます。
直接音の振動数を求める
ドップラー効果の公式
\(f=\displaystyle\frac{V-v_o}{V-v_s}f_0\)
において、 観測者は動いていませんから、
\(v_o=0\)
です。
また、ドップラー効果では音の進む向きを正に取りますので、おんさから観測者への直接音を計算する場合は、図を見ての通り左向きを正とします。これに対しておんさが右に進んでいますので、
\(v_s=-v\)
となります。
これらをドップラー効果の公式に代入しましょう。このとき聞こえる見かけの振動数を\(f_1\)としておきます。
\(f_1=\displaystyle\frac{V}{V-(-v)}f_0\)
\(f_1=\displaystyle\frac{V}{V+v}f_0\)
となります。この式が、直接音の振動数です。
反射音の振動数を求める
次に、反射音について考えてみましょう。
反射音を考えるときは、２段階のドップラー効果の計算を行います。
① まず、おんさから反射板までの音について考える。
② つぎに、反射板から観測者までの音について考える。
という手順になります。
① おんさから反射板までの音
おんさから反射板までの音について考えるとき、反射板を観測者と解釈します。
すると観測者(反射板)は音が進む向きと同じ向きに\(2v\)で動いていますから、
\(v_o=2v\)
です。
また、音源も音が進む向きと同じ向きに\(v\)で動いていますから、
\(v_s=v\)
となります。
これらをドップラー効果の公式に代入します。
\(f'=\displaystyle\frac{V-2v}{V-v}f_0\)
となります。
② 反射板から観測者までの音
いま、反射板を観測者とみなして、振動数\(f'\)の音がやってきましたが、この音が反射するとき、\(f'\)は\(f'\)のまま反射します。
振動数が\(f'\)ということは、音の波長が１秒間に\(f'\)個だけ反射板に到達しているということですが、反射する音がこれより多かったり少なかったりすると、波の個数に整合性が取れません。
なので、反射板は動いていても止まっていても、同じ振動数で音を跳ね返すことになるのです。
そして、この\(f'\)の音を、今度は観測者まで届けることになりますので、反射音について考えるとき、反射板を音源と解釈します。
このとき、観測者は動いておらず、
\(v_o=0\)
です。
音源(反射板)は音が進む向きと逆向きに\(2v\)で動いていますから、
\(v_s=-2v\)
となります。
これらをドップラー効果の公式に代入します。
このとき、音源(反射板)から発せられる音の振動数は\(f'\)となることに注意してください。
また、反射音の振動数を\(f_2\)とすることにします。
よって、
\(f_2=\displaystyle\frac{V}{V-(-2v)}f'\)
\(f_2=\displaystyle\frac{V}{V+2v}f'\)
となります。
しかし、ここで計算を終えてはいけません。\(f'\)は自分で置いた文字ですので、前の議論で求めた、
\(f'=\displaystyle\frac{V-2v}{V-v}f_0\)
を代入する必要があります。
結果として、
\(f_2=\displaystyle\frac{V}{V+2v}･\displaystyle\frac{V-2v}{V-v}f_0\)
となりました。
うなりの振動数を求める
さて、あとはうなりの振動数を求めるだけです。
うなりの振動数は、二つの振動数の差を求めて、それを正の数で答えれば良いですね。
公式を確認しておくと、
\(f=|f_1-f_2|\)
がうなりの公式です。
ここから、
\(f=|f'-f_2|\)
\(=\displaystyle\frac{V}{V+v}f-\frac{V(V-2v)}{(V-v)(V+2v)}f\)
\(=Vf\left[\displaystyle\frac{1}{V+v}-\frac{V-2v}{(V-v)(V+2v)} \right]\)
\(=Vf\left[\displaystyle\frac{(V-v)(V+2v)}{(V+v)(V-v)(V+2v)}-\frac{(V+v)(V-2v)}{(V+v)(V-v)(V+2v)}\right]\)
\(=Vf\displaystyle\frac{(V-v)(V+2v)-(V+v)(V-2v)}{(V+v)(V-v)(V+2v)}\)
\(=Vf\displaystyle\frac{(V^2+Vv-2v^2)-(V^2-Vv-2v^2)}{(V^2-v^2)(V+2v)}\)
\(=Vf\displaystyle\frac{2Vv}{(V^2-v^2)(V+2v)}\)
\(=\displaystyle\frac{2V^2v}{(V^2-v^2)(V+2v)}f\)
となりました。絶対値を早々に外してしまいましたが、最終的な結果を見ての通り、この引き算は正の数ですので、絶対値を外すときにはそのまま外してもよさそうですね。
仮に計算した最終結果が負になったときは、しれっと正の数に切り替えておけば問題ありません。
いま、この問題設定は、それなりに難易度の高い数値設定になっていますので、計算が複雑です。
ですが、普段の学習をする上では、もう少し簡単な計算になるように数値設定がとられると思いますので、小手先の計算のややこしさに惑わされず、考え方の部分だけ身につけてもらえたらと思います。
