(1)
本来であれば、運動量保存則と反発係数の式を連立して解きますが、今回の問題は物体の質量が全て等しいので、「速度交換」という方法で解きます。
速度交換とは、衝突する２物体の質量が同じとき、衝突前後で速度が入れ替わることを言います。
例えば、同じ質量\(m\)の２球A,Bがあって、Aが\(3m/s\)、Bが停止していたとします。これらが衝突したときには、Aが停止状態になり、Bが\(3m/s\)になります。
また、Aが\(3m/s\)、Bが\(1m/s\)であったときは、衝突後にはAが\(1m/s\)、Bが\(3m/s\)になる、ということです。
衝突する２物体の質量が等しいときに、文字通り、速度が交換されることを言います。
このルールを使うと、Aが速さ\(v_0\)で停止しているBにぶつかると、速度が交換されて、Aが停止状態になり、Bが\(v_0\)になります。
よって、\(v_A=0\)、\(v_B=v_0\)
(2)
ばねが最も縮んだとき、BとCが同じ速さになります。
つまり、この瞬間、質量\(2m\)の一つの物体があると考えることができます。
質量\(m\)、速さ\(v_0\)の物体Aが、質量\(2m\)の物体にぶつかって速さが\(V\)になるとして、運動量保存則を考えましょう。
運動量保存則から、
\(mv_0=2mV\)
\(V=\displaystyle\frac{1}{2}v_0\)
となります。この\(V\)は一体化したときのBとCの速さですので、
\(V=v_B=v_C\)
です。
つまり、
\(v_B=v_C=\displaystyle\frac{1}{2}v_0\)
ということですね。
(3)
力学的エネルギー保存則から
\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_B^2+\frac{1}{2}mv_C^2+\frac{1}{2}kd^2\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}m\left(\frac{v_0}{2}\right)^2+\frac{1}{2}m\left(\frac{v_0}{2}\right)^2+\frac{1}{2}kd^2\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}m･\frac{v^2_0}{4}+\frac{1}{2}m･\frac{v^2_0}{4}+\frac{1}{2}kd^2\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_0^2=m･\frac{v^2_0}{4}+\frac{1}{2}kd^2\)
両辺４倍して
\(2mv_0^2=mv^2_0+2kd^2\)
\(2kd^2=mv^2_0\)
\(d^2=\displaystyle\frac{m}{2k}v^2\)
\(d=v\displaystyle\sqrt{\frac{m}{2k}}\)
