(1速さ)
単なる落体の問題です。落下時間を\(t\)とすると、高さ\(h\)だけ落下するのに要する時間は、
\(h=\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) より
\(t^2=\displaystyle\frac{2h}{g}\)
\(t=\displaystyle\sqrt{\frac{2h}{g}}\)
このときの質点の速さは
\(v=gt\) より
\(v=g\displaystyle\sqrt{\frac{2h}{g}}\)
\(v=\sqrt{2gh}\)
として求まります。ですが、等加速度運動の問題で時間が問題文に与えられていないときには、\(v^2-v_0^2=2ax\)の公式を使った方が早く計算できるんでしたね。
この公式を使うと、\(v_0=0\)ですから、
\(v^2=2gh\)
\(v=\sqrt{2gh}\)
と、すぐに答えまで到達できます。確かに便利なのは便利でしょう。でも、この公式を覚えていなければ使えません。残念ながら３つ目の公式を覚えている人は少数派です。では、そんな人たちはどう対処するといいでしょうか。
等加速度運動の３つ目の公式を覚えていない人は、ここまで学習したのであれば、力学的エネルギー保存則が使えます。質点の質量を\(m\)として、
\(mgh=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)
\(gh=\displaystyle\frac{1}{2}v^2\)
\(v^2=2gh\)
\(v=\sqrt{2gh}\)
これだと、式は少しだけ長いですが、落下時間を求めるほどではないですし、何より覚えている公式から解決させることができるので、都合がいい人が多いのではないでしょうか。
別解を３つほど示しました。好きな方法で解きましょう。
(1角度)
斜面上に小球が衝突しますが、なめらかな面との衝突のときには、斜面に沿う向きには力が加わりませんので、速度の斜面に沿った成分は衝突前後で変わりません。
また、点Aでの衝突は弾性衝突となっていますので、反発係数は\(e=1\)ということで、そのため斜面に垂直な向きにも速さがかわりません。
ということは斜面に\(45°\)で衝突したら、そのまま折り返して\(45°\)で跳ね上がります。
(2)
衝突する面が斜めなのが分かりにくいですので、図を少しだけ回転させて、見やすい向きにしておきます。
ここに質点が衝突していきますが、いま、弾性衝突なので、速さの成分は一切変化することなく、ちょうど光が鏡に当たったときのように、入射角＝反射角となって飛び出していきます。
ここでは入射角も反射角も\(45°\)になりますね。
仮に、弾性衝突でなければ、面に対して垂直な速度成分だけが反発係数\(e\)倍されますし、仮に、床に摩擦係数\(\mu\)の摩擦があれば、面に対して水平な速度成分だけが、衝突に要した一瞬の時間\(\Delta t\)だけ力積\(f \Delta t\)をうけて遅くなります。
これらのややこしい話は、今はナシとなっています。
(2)
運動量の変化から力積を求めるときは、
\(step1\)：運動量の矢印を同じ点から作図する
\(step2\)：衝突前の運動量の矢印の先から、衝突後の矢印の先に線をひく
\(step3\)：作図した矢印の長さを求める
の手順で求めます。
作図したものを載せておきます。見やすくするために斜面が水平になるようにずらしてあります。
作図してみると、別に正弦定理や余弦定理を使うことなく、\(1:1:\sqrt{2}\)の三角比のみからで計算ができそうなことが分かります。
辺の比を考えると、衝突前もしくは衝突後の質点の運動量の\(\sqrt{2}\)倍の値を求めてやれば良さそうです。
質点の運動量は
\(p=mv\) より
\(p=m\sqrt{2gh}\)
なので、その\(\sqrt{2}\)倍は
\(p=2m\sqrt{gh}\)
となりました。
(3)
斜面の角度が\(45°\)なので、点Aから点Bまで小球が進む場合、水平方向に進む距離\(vt\)と、鉛直方向に落下する距離\(\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)が等しい長さになることが分かります。
よって、
\(vt=\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)
\(t\)はゼロでないので両辺を\(t\)で割って、
\(v=\displaystyle\frac{g}{2}t\)
\(t=\displaystyle\frac{2v}{g}\)
\(t=\displaystyle\frac{2\sqrt{2gh}}{g}\)
\(t=2\displaystyle\sqrt{\frac{2h}{g}}\)
(4)
AB間は\(vt\)の\(\sqrt{2}\)倍の長さなので、AB間の距離を\(L\)とすると、
\(L=\sqrt{2}×vt\)
\(L=\sqrt{2}×v･2\displaystyle\sqrt{\frac{2h}{g}}\)
\(L=4h\sqrt{2}\)
