(1)
まず糸の張力\(S_1\)を作図して、それを水平方向と鉛直方向に分解しておきます。
これらがつり合うように、鉛直下向きに重力\(mg\)と、水平右向きに外力\(f\)を作図しておきます。
これでつりあいの作図が完成します。
つりあいの関係が見えたら、水平方向と鉛直方向について、それぞれつりあいの式を立式します。
[水平] \(f\)\(=\)\(S_1 \sin\theta\)
[鉛直] \(mg\)\(=\)\(S_1 \cos\theta\)
この式を解いて\(S_1\)を求めますが、外力\(f\)は自分で置いた文字なので解答に使えません。
すると、自動的に鉛直方向のつり合いの式を計算するしかなくなります。
よって、
\(S_1=\displaystyle\frac{mg}{\cos\theta}\)
(2)
次に、糸\(b\)を静かに切ります。
すると、小球は円軌道を描いて運動を始めますので、軸をとりなおして、円軌道の接線方向と、張力がはたらく動径方向(半径の方向)に分解し直します。
糸を切った瞬間は小球はまだ動いていませんので、遠心力もかかっていません。
作図をした力だけでつりあいの関係を探してやるといいでしょう。
重力の分力のうち、糸の張力方向に分解した力の大きさは
\(mg\cos\theta\)
ですので、これがそのまま張力の大きさとなります。
\(S_2=mg\cos\theta\)
(3)
おもりが最下点にくるとき、張力の大きさは重力と遠心力の和になります。
遠心力は、\(m\displaystyle\frac{v^2}{r}\) という式で書かれますので、これを数式の中に入れるためには最下点での速さ\(v\)が必要だという方針が見えてきます。
そこでまず力学的エネルギー保存則を使って、最下点での小球の速さを計算しておいて、それを遠心力の式に代入することで、重力と遠心力の和を計算する、という流れで解いていこうと思います。
小球の高さから横線を補助線として引くと、図に示したような直角三角形ができ、縦の辺の長さが\(l\cos\theta\)であることがわかります。
最下点を高さの基準とすれば、糸の長さは\(l\)ですから、小球の高さは
\(h=l-l\cos\theta\)
\(h=l(1-\cos\theta)\)
ということが分かります。
よって、力学的エネルギー保存則より、
\(mgh=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)
\(mgl(1-\cos\theta)=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)
\(2gl(1-\cos\theta)=v^2\)
となります。
ここから平方根を取って速さを計算しきってしまわなくても、今は遠心力の公式に代入するときの\(v^2\)さえあれば十分ですので、ここで計算を止めてしまって大丈夫です。
これを遠心力の式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r}\) に代入すると、
\(m\displaystyle\frac{v^2}{r}=m\frac{2gl(1-\cos\theta)}{l}\)
\(=2mg(1-\cos\theta)\)
となります。
以上から、「張力＝重力＋遠心力」の関係を用いて、
\(S_3=mg+2mg(1-\cos\theta)\)
\(S_3=mg+2mg-2mg\cos\theta\)
\(S_3=3mg-2mg\cos\theta\)
\(S_3=mg(3-2\cos\theta)\)
となります。
