(1)
円運動の半径が\(R+h\)で表されることに注意をして問題を解きましょう。
円運動の運動方程式より
\(m(R+h)\omega^2=G\displaystyle\frac{Mm}{(R+h)^2}\)
\(\omega^2=\displaystyle\frac{GM}{(R+h)^3}\)
\(\omega=\sqrt{\displaystyle\frac{GM}{(R+h)^3}}\)
ここで、\(GM=gR^2\)の変換をすると、
\(\omega=\sqrt{\displaystyle\frac{gR^2}{(R+h)^3}}\)
よって
\(T=\displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\)
\(=2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{(R+h)^3}{gR^2}}\)
[補足]\(GM=gR^2\)について
地上の重力を考えたとき、物体にはたらく重力は\(mg\)ですが、万有引力の公式を使って、\(G\displaystyle\frac{Mm}{R^2}\)とも書くことができます。よって、
\(mg=G\displaystyle\frac{Mm}{R^2}\)
\(g=G\displaystyle\frac{M}{R^2}\)
\(gR^2=GM\)
となります。これは、物体が地上にあるときを元に導出しましたが、値として\(gR^2\)の大きさと\(GM\)の大きさが等しいということを示しているので、関係式になってしまいさえすれば、あとは地上でなくても、宇宙のどこで考えても\(gR^2=GM\)は成立します。
なので、変に難しく考えて、\(g(R+h)^2=GM\)のように式を加工するのは誤りです。
(2)
静止衛星とは、地上から見て衛星が真上で静止しているように見える衛星のことです。つまり、静止衛星の周期は、地球の周期と完全に一致しているということですので、静止衛星の周期に地球の周期を代入すればいいですね。
\(T=T_0\)として、\(h\)について解くと、
\(T_0=2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{(R+h)^3}{gR^2}}\)
\(T^2_0=4\pi^2･\displaystyle\frac{(R+h)^3}{gR^2}\)
\((R+h)^3=\displaystyle\frac{gR^2T^2_0}{4\pi^2}\)
\(R+h=\displaystyle\sqrt[3]{\frac{gR^2T^2_0}{4\pi^2}}\)
\(h=\displaystyle\sqrt[3]{\frac{gR^2T^2_0}{4\pi^2}}-R\)
