位置エネルギーと運動エネルギーの和のことを「力学的エネルギー」と言います。
この力学的エネルギーは、摩擦や空気抵抗がない条件では「保存」します。
昔の科学者が海外の文献を翻訳をしたときにつけたんでしょうか、理科では「保存」という言葉がいくつか登場しますが、意味としては「不変」と解釈するほうが分かりやすいかもしれません。
▼力学的エネルギー保存則
位置エネルギー ＋ 運動エネルギー ＝ (一定)
\(mgh\) \(+\) \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) \(=\) 一定
今回の問題では、この力学的エネルギーを使います。
まず、なめらかな水平面上に物体があるときの位置エネルギーと運動エネルギーを考えると、
位置エネルギー：\(0\)
運動エネルギー：\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_0^2\)
次に、最高点での小球の位置エネルギーと運動エネルギーを考えます。
最高点での高さを\(h\)とします。最高点では、もうこれ以上は上に上がりませんので、ちょうど速さは\(0\)になっています。
位置エネルギー：\(mgh\)
運動エネルギー：\(0\)
これら２点での力学的エネルギーは保存していますので、力学的エネルギー保存則より、
\(0+\displaystyle\frac{1}{2}mv_0^2=mgh+0\)
両辺ゼロでない\(m\)を割って、
\(\displaystyle\frac{1}{2}v_0^2=gh\)
両辺２倍して、
\(v_0^2=2gh\)
よって\(h\)は
\(h=\displaystyle\frac{v_0^2}{2h}\) [m]
