(1)
一旦、左右に\(2\)つのコンデンサーがあるとして、分けておきます。極板面積が半分になると、電気容量も半分になります。逆に合成してみると、並列合成容量は和で計算できますので、元の電気容量\(C\)に戻るのがわかりますね。
右側だけ、比誘電率\(\varepsilon_r\)の誘電体で満たします。比誘電率は、電気容量を何倍にするか、という値ですので、\(\displaystyle\frac{1}{2}C\)に、そのままかけ算させてやればいいだけの作業になります。
これらを改めて並列合成しましょう。
\(C_並=\displaystyle\frac{1}{2}C+\frac{1}{2}\varepsilon_rC\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}(1+\varepsilon_r)C\)
よって、\(Q_1=C_並V\)より
\(Q_1=\displaystyle\frac{1+\varepsilon_r}{2}CV[C]\)
単位の書き忘れに注意してください。
(2)
同様に、横に分割します。極板間隔が半分になっているので、一つの電気容量は\(2\)倍になります。
下半分だけ比誘電率\(\varepsilon_r\)の誘電体で満たして、改めて合成します。
直列の合成容量を計算するときは、簡素化された公式を使うとラクです。
\(C_直=\displaystyle\frac{積}{和}\)
\(=\displaystyle\frac{2C･2\varepsilon_rC}{2C+2\varepsilon_rC}\)
\(=\displaystyle\frac{4\varepsilon_rC^2}{2(1+\varepsilon_r)C}\)
\(=\displaystyle\frac{2\varepsilon_rC}{1+\varepsilon_r}\)
よって、\(Q=C_直V\)より
\(Q=\displaystyle\frac{2\varepsilon_rC}{1+\varepsilon_r}V[C]\)
