(1)
境界面ABで屈折の法則を立式します。\(\sin\theta\)に対して、屈折率\(n\)は逆数になっています。
\(\displaystyle\frac{\sin\theta_A}{\sin\theta_B}=\frac{n_B}{n_A}\)
(2)
(1)で求めた屈折光が境界面BCに到達するためには、屈折角が90°より小さくなければいけません。
なので、
\(\sin\theta_B<1\)
となればいいですね。
よって(1)より、
\(\displaystyle\frac{n_A}{n_B}\sin\theta_A=\sin\theta_B<1\)
つまり
\(\displaystyle\frac{n_A}{n_B}\sin\theta_A<1\)
よって
\(\sin\theta_A<\displaystyle\frac{n_B}{n_A}\)
ということになります。
(3)
\(\theta_C>90°\)のときに全反射します。
つまり\(\sin\theta_C>\sin 90°\)のときに全反射しますので、
\(\displaystyle\frac{\sin\theta_B}{\sin 90°}>\frac{\sin\theta_B}{\sin\theta_C}\)
のときに全反射します。ここで、境界面BCでの屈折の法則から
\(\displaystyle\frac{\sin\theta_B}{\sin\theta_C}=\frac{n_C}{n_B}\)
なので、いま大小関係は
\(\sin\theta_B>\displaystyle\frac{n_C}{n_B}\)
となっています。この左辺に着目します。(1)から
\(\sin\theta_B=\displaystyle\frac{n_A}{n_B}\sin\theta_A\)
ですので、これを左辺に代入すると
\(\displaystyle\frac{n_A}{n_B}\sin\theta_A>\frac{n_C}{n_B}\)
よって
\(\sin\theta_A>\displaystyle\frac{n_C}{n_A}\)
