■解答
(あ) \(\displaystyle\frac{v}{v+w}L\) (い) \(\displaystyle\frac{v}{v-w}L\) (う) \(\displaystyle\frac{2vL}{v^2-w^2}\)
(え) \(\displaystyle\frac{2L}{v}\) (お) \(\displaystyle\frac{mv^2}{L^3}\) (か) \(2\)
(き) \(\displaystyle\frac{v(v'+w)}{v'(v-w)}L\) (く) \(-2(a+3)\) (け) \(6\)
(こ) \(\displaystyle\frac{a+3}{3}\) (さ) \(\gamma-1\) (し) \(\displaystyle\frac{5}{3}\)
問１
\(v'=\displaystyle\frac{(5M-3m)v-6Mw}{5M+3m}\)
問２
\(a=\displaystyle\frac{6}{5}\) \(\gamma=\displaystyle\frac{7}{5}\)
■解説
(あ)
\(t_1<0\)であることに注意すると、
\(t_1~0\) の時間は \(-t_1\)
\(0~t_2\) の時間は \(t_2\)
となる。
粒子が\(x=L_1\)から\(x=0\)まで進むとき、
\(L_1=v×(-t_1)\)
\(t_1=-\displaystyle\frac{L_1}{v}\)
だけ経過する。
壁Bは、この間に速度\(w\)で\(L-L_1\)だけ進むので、
\(L-L_1=w×(-t_1)\)
\(L-L_1=w･\displaystyle\frac{L_1}{v}\)
\(L=L_1+\displaystyle\frac{w}{v}L_1\)
\(L=\displaystyle\frac{v+w}{v}L_1\)
∴
\(L_1=\displaystyle\frac{v}{v+w}L\)
(い)
(あ)と同様に、粒子が\(x=0\)から\(x=L_2\)まで進むとき
\(t_2=\displaystyle\frac{L_2}{v}\)
だけ経過し、壁Bはこの間に速度\(w\)で\(L_2-L\)だけ進むので、
\(L_2-L=wt_2\)
\(L_2-L=w･\displaystyle\frac{L_2}{v}\)
\(L=L_2-\displaystyle\frac{w}{v}L_2\)
\(L=\displaystyle\frac{v-w}{v}L_2\)
∴
\(L_2=\displaystyle\frac{v}{v-w}L\)
(う)
\(T_{12}=t_2-t_1\) より
\(T_{12}=\displaystyle\frac{L_2}{v}+\frac{L_1}{v}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{v}\left(\frac{v}{v-w}L+\frac{v}{v+w}L\right)\)
\(=\displaystyle\frac{2v}{v^2-w^2}L\)
(え)
(う)の分子分母にそれぞれ\(\displaystyle\frac{1}{v^2}\)をかけると
\(T_{12}=\displaystyle\frac{\frac{2}{v}}{1-(\frac{w}{v})^2}L\)
\(≒\displaystyle\frac{2}{v}L\)
(お)
壁Aがうける力の時間平均\(F_x\)は、粒子がうける力積\(-F_xT_{12}\)が、時刻\(t=0\)での粒子の運動量の変化に等しい
とあるので、
\(-F_xT_{12}=2mv\)
\(F_x=-\displaystyle\frac{2mv}{T_{12}}\)
\(≒-\displaystyle\frac{mv^2}{L}\) (∵\(T_{12}=\displaystyle\frac{2L}{v}\))
よって
\(P=\displaystyle\frac{F}{S}\) より
\(P=\displaystyle\frac{mv^2}{L^3}\)
(か)以降は、後日制作
