■解答
(あ) \(mn_lS\Delta z\) (い) \(-mn_l\Delta z･g\) (う) \(-\displaystyle\frac{mg}{kT}\)
(え) \(P_0exp(-\displaystyle\frac{mg}{kT}z)\) (お) \(\displaystyle\frac{P_0}{kT}exp(-\frac{mg}{kT}z)\)
問１ \(\displaystyle\frac{p_0S}{mg}kT\)
(か) \(\displaystyle\frac{P_0S}{mg}\) (き) \(\displaystyle\frac{3}{2}kT\) (く) \(NkT\)
(け) \(\displaystyle\frac{5}{2}NkT\) (こ) \(\displaystyle\frac{5}{2}k\) (さ) ①大きい
(し) \(\displaystyle\frac{Mg}{S}\) (す) \(\displaystyle\frac{kT}{gh}ln \left( \displaystyle\frac{P_BS}{Mg} \right) \)
(せ) \(7×10^{-26}[kg]\)
■解説
(あ)
質量\(m\)の分子が\(1m^3\)あたり\(n_l\)(個)あるが、いま考えている領域の体積は\(S\Delta z\)と表すことができるので、小領域中にある気体の総質量は
\(mn_lS\Delta z\)
(い)
小領域にはたらく鉛直方向の力のつり合いの式は
\(P_{l+1}S+Mg=P_lS\)
ここで\(M=mn_lS\Delta z\)として
\(P_{l+1}S+mn_l\Delta z･g=P_l\)
\(P_{l+1}-P_l=-mn_l\Delta z ･g\)
(う補)
\(PV=nRT\) (\(n\)は\(mol\)数)より
\(PV=\displaystyle\frac{m}{M}RT\) (\(M\)は気体の総質量\(M=mN_0\))
\(P_lS\Delta z=\displaystyle\frac{mn_lS\Delta z}{mN_0}RT\)
\(P_l=\displaystyle\frac{n_l}{N_0}RT\)
\(=n_l\displaystyle\frac{R}{N_0}T\)
ここで、\(\displaystyle\frac{R}{N_0}=k\)とすると
\(P_l=n_lkT\) ――(2)
が導出される。本問では、この加工された状態方程式を用いて解く
(う)
\(P_{l+1}-P_l=-mn_lg\Delta z\)
(2)式より \(n_l=\displaystyle\frac{P_l}{kT}\)
\(P_{l+1}-P_l=-m\displaystyle\frac{P_l}{kT}g\Delta z\)
\(=-\displaystyle\frac{mg}{kT} ×\Delta z P_l\)
(え)
\(P_l=P(z)\)、\(P_{l+1}=P(z+\Delta z)\) とすると
(3)式より
\(P(z+\Delta z)-P(z)=-\displaystyle\frac{mg}{kT}\Delta z P(z)\)
\(\displaystyle\frac{P(z+\Delta z )-P(z)}{\Delta z}=-\frac{mg}{kT}P(z)\)
この式と(4)式を比較すると
\(a=\displaystyle\frac{mg}{kT}\)
であると分かるので、\(f(z)=f(0)e^{-az}\)より
\(P(z)=P(0)e^{-\frac{mg}{kT}z}\)
\(P(0)=P_0\)として、\(e^●\)を\(exp●\)と表記すると、
\(P(z)=P_0 exp \left( -\displaystyle\frac{mg}{kT}z \right)\)
(お)
\(n_l=\displaystyle\frac{P_l}{kT}\) より
\(n(z)=\displaystyle\frac{P(z)}{kT}\) として(え)を代入
\(n(z)=\displaystyle\frac{P_0}{kT}exp\left(-\displaystyle\frac{mg}{kT}z \right) \)
問１
\(U=\displaystyle\sum_{l=0}^\infty mgz_ln_lS\Delta z\)
\(z_l=l\Delta z\)、\(z_0=0\)、\(n_l=\displaystyle\frac{P_0}{kT}exp \left( -\frac{mg}{kT}l\Delta z \right)\) を代入
ここで、\(l=0\)のとき、\(U_0=0\)なので、\(\sum\)のスタートが\(l=1\)からにできる。
\(\displaystyle\sum_{l=1}^\infty mg･l\Delta z ･ \frac{P_0}{kT} exp \left( -\frac{mg}{kT}･l\Delta z \right) S\Delta z\)
\(=mg･\Delta z ･ \displaystyle\frac{P_0}{kT}･S\Delta z \sum_{l=1}^\infty l exp \left( -\frac{mg}{kT}l\Delta z \right)\)
\(\displaystyle\sum_{l=1}^\infty l e^{-l \alpha}≒\frac{1}{\alpha ^2}\) とすると
\(≒\displaystyle\frac{mg\Delta z}{kT}･P_0S\Delta z ･ \frac{1}{(\frac{mg\Delta z}{kT})^2}\)
\(=P_0S\Delta z･\displaystyle\frac{1}{\frac{mg\Delta z}{kT}}\)
\(=P_0S\Delta z･\displaystyle\frac{kT}{mg\Delta z}\)
\(=\displaystyle\frac{P_0S}{mg}kT\)
(か)
底面に加わる力は\(N\)個の気体分子の重さと等しいので、
\(P_0S=Nmg\)
\(N=\displaystyle\frac{P_0S}{mg}\)
(き)
単原子分子\(1\)個の運動エネルギーは\(T=const.\)として
\(U=\displaystyle\frac{3}{2}kT\)
であるから、分子\(N\)個の総和は
\(U=\displaystyle\frac{3}{2}kT ×N\)
(く)
問１より
\(U=\displaystyle\frac{P_0S}{mg}kT\)
であるから、式(7)[か]を適用して
\(U=NkT\)
(け)
式(8)[き]と、式(9)[く]より
\(E=\displaystyle\frac{3}{2}NkT+NkT\)
\(=\displaystyle\frac{5}{2}NkT\)
(こ)
円筒内の気体分子の力学的エネルギーの総和(内部エネルギー)は、気体分子\(N\)、気体\(1\)粒子あたりの比熱\(c\)、温度変化\(\Delta T\)を用いて、
\(E=Nc\Delta T\)
と書けるので
\(\displaystyle\frac{5}{2}Nk\Delta T=Nc\Delta T\)
\(c=\displaystyle\frac{5}{2}k\)
(さ)
重力場がないとき式(8)[き]より、比熱は
\(c=\displaystyle\frac{3}{2}k\)
となるので[こ]と比較すると重力場があるときの方が比熱が ①大きい
(し)
おもりにはたらく鉛直方向の力のつり合いより
\(Mg=P(h)S\)
\(P(h)=\displaystyle\frac{Mg}{S}\)
(す)
静力学平衡によって求めた圧力(式(5))は
\(P(z)=P_0exp \left(-\displaystyle\frac{mg}{kT}･z \right)\)
力のつり合いによって求めた圧力(式(11))は
\(P(h)=\displaystyle\frac{Mg}{S}\)
であるから、式(5)において\(z=h\)とすると、\(P_0=P_B\)となり、
\(P_Bexp \left(-\displaystyle\frac{mg}{kT}･h\right) =\frac{Mg}{S}\)
\(exp \left( \displaystyle\frac{mg}{kT}･h \right) =\frac{Mg}{P_BS}\)
両辺に対数をとると
\(-\displaystyle\frac{mg}{kT}･h=ln \left( \frac{Mg}{P_BS} \right) \)
ただし、\(log_ex=lnx\)と表記している
\(m=-\displaystyle\frac{kT}{gh}･ln\left( \frac{Mg}{P_BS}\right)\)
\(=\displaystyle\frac{kT}{gh}ln \left(\frac{P_BS}{Mg}\right)\)
(せ)
(す)に各値代入すると、
\(m=\displaystyle\frac{1.4×10^{-23}･300}{9.8･30}ln\left( \frac{1005}{1000} \right)\)
\(ln \left( 1+ \displaystyle\frac{5}{1000}\right)≒\displaystyle\frac{5}{1000}\)であるから
\(m=\displaystyle\frac{1.4×10^{-22}}{9.8}･\frac{5}{1000}\)
\(=\displaystyle\frac{14}{98}×10^{-22}･5×10^{-3}\)
\(=\displaystyle\frac{70}{98}×10^{-25}\)
\(=\displaystyle\frac{5}{7}×10^{-25}\)
\(=0.\dot{7}1428\dot{5}×10^{-25}\)
\(≒7×10^{-26}kg\)
