■解答
(ア) \(\displaystyle\frac{mg}{k}\) (イ) \(\displaystyle\frac{m}{k}\) (ウ) \(g\)
(エ) ③ (オ) \(\displaystyle\sqrt{\frac{mg}{c}}\) (カ) \(\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\frac{m}{cg}}\)
(キ) \(5.8[m/s]\) (ク) \(8.2[m/s]\)
問１ 抵抗力は速さの２乗に比例していると考えられる
(ケ) \(0.3[s]\) (コ) ④
(サ) \(\rho Sv\Delta t\) (シ) \(-\rho Sv^2\)
■解説
(ア)
近似的に等速度運動となることから解くと、
\(\Delta v =0\) として
\(m×0=mg-kv_f\)
\(v_f=\displaystyle\frac{mg}{k}\)
重力と抵抗力がつり合う条件から解くと、
\(mg=kv_f\)
\(v_f=\displaystyle\frac{mg}{k}\)
(イ)
\(v=v_f+\bar v\) より、速度\(v\)の変化量は、
\(\Delta v = \Delta (v_f+ \bar v)\)
ここで、\(v_f\)は定数なので
\(\Delta v=\Delta \bar v\)
よって
\(m\displaystyle\frac{\Delta \bar v }{\Delta t}=-k\bar v\)
\(\displaystyle\frac{\Delta \bar v }{\Delta t}=-\frac{k}{m}\bar v\)
\(=\displaystyle\frac{\bar v}{\frac{m}{k}}\)
(ウ)
\(\tau_1=\displaystyle\frac{m}{k}\) とすると
\(v_f=\displaystyle\frac{mg}{k}\) より
\(=g \tau_1\)
(エ)
傾き\(=\displaystyle\frac{\Delta \bar v}{\Delta t}=-\frac{\bar v}{\frac{m}{k}}\) において
\(\bar v\)が小さくなるほど傾きは小さくなる ⇒ ①×
\(\tau_1=\displaystyle\frac{m}{k}\)は一定なので、どの運動も同程度の時間で終端速度に達する ⇒ ②④×
よって ③
(オ)
アと同様に、十分時間が経過したとき、近似的に\(\Delta v =0\)となるとして
\(m×0=mg-cv_t^2\)
\(v_t=\displaystyle\sqrt{\frac{mg}{c}}\)
(カ)
\(m\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=mg-cv^2\)
イと同様に\(v=v_t+\bar v\)より
\(\Delta v=\Delta(v_t+\bar v)=\Delta \bar v\)であるから
\(m\displaystyle\frac{\Delta \bar v}{\Delta t}=mg-cv^2\)
\(\displaystyle\frac{\Delta \bar v}{\Delta t}=g-\displaystyle\frac{c}{m}v^2\)
\(=g-\displaystyle\frac{c}{m}(v_t+\bar v)^2\)
\(=g-\displaystyle\frac{c}{m}v_t^2(1+\frac{\bar v}{v_t})^2\)
近似を利用
\(≒g-\displaystyle\frac{c}{m}v_t^2(1+\frac{2\bar v}{v_t})\)
\(=g-\displaystyle\frac{c}{m}(v_t^2+2\bar v v_t)\)
\(=g-\displaystyle\frac{c}{m}(\frac{mg}{c}+2 \bar v \sqrt{\frac{mg}{c}})\)
\(=-2\bar v \sqrt{\displaystyle\frac{cg}{m}}\) \(=-\displaystyle\frac{\bar v }{\tau_2}\) とすると
\(\tau_2=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\frac{m}{cg}}\)
(キ)(ク)
表より(表はタップで拡大)
\(v_1=5.8m/s\)
\(v_2=8.2m/s\)
問１
粘性抵抗 \(v_f=\displaystyle\frac{mg}{k}\)
⇒\(m\)が２倍になると、\(v_f\)も２倍になる
慣性抵抗 \(v_t=\displaystyle\sqrt{\frac{mg}{c}}\)
⇒\(m\)が２倍になると、\(v_t\)は\(\sqrt{2}\)倍になる
いま、
\(\displaystyle\frac{v_2}{v_1}=\frac{8.2}{5.8}≒1.4\)
であるから、物体は慣性抵抗を受けながら運動していると考えられる。
(ケ)
\(v_t=\displaystyle\sqrt{\frac{mg}{c}}=5.8\) であるから
\(\tau_2=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\frac{m}{cg}}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\frac{mg}{c}}･\frac{1}{g}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}･5.8･\frac{1}{9.8}\)
\(≒0.3s\)
(コ)
問題文の表より、\(3.0s\)以降は終端速度に達している ⇒①③⑥×
\(\tau_2=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\frac{m}{cg}}=\frac{1}{2}v_t･\frac{1}{g}\) より
\(m\)が２倍になると、
\(v_t\)は\(\sqrt{2}\)倍になるので、
\(\tau_2\)も\(\sqrt{2}\)倍になる。
よって、質量が大きいほど終端速度は速く、緩和時間も大きくなる ⇒②③⑤×
以上より ④
(サ)
水のかたまりは\(\Delta t\)間に\(v \Delta t\)だけ進むので、底面積\(S\)、高さ\(v\Delta t\)の円柱の体積\(Sv\Delta t\)から、
\(\Delta m = \rho Sv\Delta t\)
(シ)
質量\(m\)、速度\(v\)の物体が、質量\(\Delta m\)の物体と衝突し、一体化して速度\(v+\Delta v \)になったと考える。
\(mv =(m+\Delta m)(v+\Delta v)\)
\(=mv + m\Delta v + \Delta m･v +\Delta m･\Delta v\)
ここで、\(\Delta m･\Delta v\)の項は\(\Delta\)の2次の項(微小項)として無視すると、
\(0= m\Delta v + \Delta m･v\)
また、\(\Delta m = \rho Sv\Delta t\)であるから
\(0=m \Delta v + \rho Sv^2\Delta t\)
\(m\Delta v=-\rho Sv\Delta t\)
\(m\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=-\rho S v^2\)
