■解答
(ア) \(\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}-4gr}\) (イ) \(2\sqrt{gr}\) (ウ) \(4mgr\)
(エ) \(\displaystyle\frac{1}{16}E\) (オ) \(\displaystyle\frac{9}{16}E\) (カ) \(9\)
(キ) \(\displaystyle\frac{9}{4}mgr\) (ク) \(\sqrt{2}r\) (ケ) \(F-mdcos \theta\)
(コ) \(E_2-mgr(1-cos \theta)\) (サ) \(\displaystyle\frac{2}{3}\)
問１ 解説参照
■解説
(ア)
地面を基準として、力学的エネルギー保存則を立てると、
\(E=mg･2r+\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 = E-2mgr\)
\(v=\displaystyle\sqrt{\frac{2E}{m}-4gr}\)
(イ)
水平投射後の落下時間は、自由落下に要する時間と等しいので
\(2r=\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)
\(t=\displaystyle\sqrt{\frac{4r}{g}}\)
よって
\(L=v_Bt\)
より
\(4r=v_B\displaystyle\sqrt{\frac{4r}{g}}\)
\(v_B=4r\displaystyle\sqrt{\frac{g}{4r}}\)
\(=2\sqrt{gr}\)
(ウ)
点\(A\)と点\(B\)とで力学的エネルギー保存則を適用すると、
\(E=2mgr+\displaystyle\frac{1}{2}m･4gr\)
\(=4mgr\)
(エオ)
衝突前後での運動量保存則と反発係数の式は
[運動量保存則] \(mv_0=mv_1+mv_2\) ―①
[反発係数] \(0.5=\displaystyle\frac{v_2-v_1}{v_0}\) ―②
②式より
\(v_2=0.5v_0+v_1\)
なので、①式に代入すると、
\(v_0=v_1+0.5v_0+v_1\)
\(0.5v_0=2v_1\)
\(v_1=\displaystyle\frac{1}{4}v_0\)
また、
\(v_2=\displaystyle\frac{3}{4}v_0\)
よって
\(E_1=\displaystyle\frac{1}{2}mv_1^2\)
\(=\displaystyle\frac{1}{16}E\) ―(エ)
\(E_2=\displaystyle\frac{1}{2}mv_2^2\)
\(=\displaystyle\frac{9}{16}E\) ―(オ)
(カ)
\(m\)と\(g\)は不変であるから、(エ)(オ)を利用して
\(\displaystyle\frac{h_2}{h_1}=\frac{E_2}{E_1}=9\)
(キ)
ばねを最も縮めた場合であるから、(ウ)より\(E=4mgr\)であるので
\(E_2=\displaystyle\frac{9}{16}･4mgr\)
\(=\displaystyle\frac{9}{4}mgr\)
(ク)
(ア)より\(E=E_2\)を代入すると、球②の点\(B\)での速さ\(v'_B\)は
\(v'_B=\displaystyle\sqrt{\frac{2}{m}･\frac{9}{4}mgr-4gr}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}gr\)
であるから、\(L=v'_Bt\)より
\(L=\displaystyle\sqrt{\frac{1}{2}gr}･\sqrt{\frac{4r}{g}}\)
\(=\sqrt{2r^2}\)
\(=\sqrt{2}r\)
(ケコ)
図より運動方程式は
\(m\displaystyle\frac{v^2}{r}=F-mgcos\theta\) ―(1)
また、力学的エネルギーの保存則は
\(E_2=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2+mgr(1-cos\theta)\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2=E_2-mgr(1-cos\theta)\) ―(2)
(サ)
問題文から「式(1)(2)から\(v\)を消去」、「\(F=0\)」を読み取ると、要は\(\theta\)を\(m\)、\(g\)、\(E\)のみで表すようにという誘導がかかっているのがわかる。
＜解法１＞誘導のとおり、式(1)(2)から\(v\)を消去し、力\(F\)を求めて、その大きさを\(F=0\)とする方法
(1)式より両辺\(\frac{r}{2}\)倍して、
\(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2=\frac{r}{2}(F-mgcos\theta)\)
(2)式へ代入
\(\displaystyle\frac{r}{2}(F-mgcos\theta)=E_2-mgr(1-cos\theta)\)
\(F=mgcos\theta=\displaystyle\frac{2E_2}{r}-2mg(1-cos\theta)\)
\(F=\displaystyle\frac{2E_2}{r}-2mg+2mgcos\theta +mgcos\theta\)
\(=\displaystyle\frac{2E_2}{r}-mg(2-3cos\theta)\)
\(F=0\)のとき\(\theta=\theta _F\)として
\(0=\displaystyle\frac{2E_2}{r}-mg(2-3cos\theta_F)\)
\(\displaystyle\frac{2E_2}{r}=mg(2-3cos\theta_F)\)
\(\displaystyle\frac{2E_2}{mgr}=2-3cos\theta_F\)
\(cos\theta_F=\displaystyle\frac{2}{3}-\frac{2}{3}･\frac{E_2}{mgr}\)
\(=\displaystyle\frac{2}{3}\left( 1-\frac{E_2}{mgr} \right)\)
＜解法２＞式(1)(2)に、はじめから\(F=0\)を適用しておいてから\(v=0\)を消去する方法
\(F=0\)のとき\(\theta=\theta_F\)として
(1)式より
\(m\displaystyle\frac{v^2}{r}=-mgcos\theta_F\)
両辺を\(\frac{r}{2}\)倍して
\(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2=-\frac{1}{2}mgrcos\theta_F\)
(2)式へ代入
\(E_2-mgr(1-cos\theta_F)=-\displaystyle\frac{1}{2}mgrcos\theta_F\)
\(E_2-mgr+mgrcos\theta_F=-\displaystyle\frac{1}{2}mgrcos\theta_F\)
\(\displaystyle\frac{3}{2}mgrcos\theta_F=mgr-E_2\)
\(cos\theta_F=\displaystyle\frac{2}{3}\left(1-\frac{E_2}{mgr} \right)\)
一方、\(v=0\)のとき\(\theta=\theta_v\)として
(2)式より
\(0=E_2-mgr(1-cos\theta_v)\)
\(E_2=mgr(1-cos\theta_v)\)
\(\displaystyle\frac{E_2}{mgr}=1-cos\theta_v\)
\(cos\theta_v=1-\displaystyle\frac{E_2}{mgr}\)
であるから
\(\displaystyle\frac{cos\theta_F}{cos\theta_v}=\frac{2}{3}\)
問１
＜伊達の物理＞
内側レールがあるとき点\(A\)における球\(A\)の運動エネルギーは最高点で全て位置エネルギーになるが、内側レールがないとき、放物運動の最高到達点では水平方向の速度があるため、運動エネルギーの分だけ\(h_2\)より低くなる。(100)
＜赤本(＝京大の物理27か年)＞
二重レールの高さ\(h_2\)の点では運動エネルギーを持たないが、斜方投射の最高到達点では速度成分があり運動エネルギーを持つ。よって、力学的エネルギー保存則より、後者の方が重力の位置エネルギーが小さくなるため。(99)
＜大学入試問題正解(＝パスナビ)＞
最高到達点で球の運動エネルギーは、内側レール有りでは０であり、内側レール無しでは水平方向左向きの速さにより正である。力学的エネルギーはどちらも同じ値なので後者が重力の位置エネルギーが小さくなるから。(99)
＜東進＞
前者の実験では\(E_2\)をすべて重力の位置エネルギーに変換できたが、後者の実験では最高到達点で水平方向の速度が存在し、運動エネルギーが残ってしまうため。(72)
＜京極一樹＞
内側レールがある場合、\(h_2\)において\(E_K=0\)、\(E_p\)：最大となり、内側レールがない場合、\(\theta>\theta_F\)では、球②は外側レールから離れて放物運動を始め、\(E_K>0\)となってその分\(E_p\)が不足し、球②の最高点は\(h_2\)より低くなる。(97)
＜物理入試問題集＞
二重レール内を運動する場合は最高点の運動エネルギーは０となるが、放物運動する場合は最高点でも速度の水平成分をもつため、運動エネルギーは０にならず、その分の重力による位置エネルギーが減少するから。(97)
それぞれ文章表現に明快な点、不明瞭な点があって勉強になりますね。
