■解答
(あ) \(\displaystyle\frac{c}{f}\) (い) \(\displaystyle\frac{c_R}{f}\) (う) \(f\)
(え) \(\displaystyle\frac{c+V}{f}\) (お) \(\displaystyle\frac{c-V}{c+V}f\) (か) \(\displaystyle\frac{c_R(c+V)}{c}･\frac{1}{f}\)
(き) \(\displaystyle\frac{c(c_R+W)}{c_R(c+V)}f\) (く) \(Usin\theta\) (け) \(\displaystyle\frac{c-Usin\theta}{c}\)
(こ) \(2Ltan\theta\) (さ) \(\displaystyle\frac{U}{c}\) (し) \(f\)
(す) \(\displaystyle\frac{\sqrt{c^2-U^2}}{2f}\) (せ) 全員正解とされた
■解説
(あ)
\(c=f\lambda\) より
\(\lambda=\displaystyle\frac{c}{f}\)
(い)
\(c_R=f\lambda_R\) より
\(\lambda_R=\displaystyle\frac{c_R}{f}\)
(う)
振動数は音源も観測者も動かず、風もないので変化しない
よって \(f\) (ドップラー効果は起こらない)
(え)
音源から見た、\(x\)軸負の向きに伝わる音波の音速は\(c+V\)であり、振動数は\(f\)であるから、波長を\(\lambda'\)とすると、
\(c+V=f\lambda'\) より
\(\lambda'=\displaystyle\frac{c+V}{f}\)
(お)
ドップラー効果の公式を用いる。
壁に届く音波の振動数を\(f'\)とすると、
\(f'=\displaystyle\frac{c}{c+V}f\)
運転手に聞こえる音波の振動数を\(f''\)とすると、
\(f''=\displaystyle\frac{c-V}{c}f'\)
\(f''=\displaystyle\frac{c-V}{c}･\frac{c}{c+V}f\)
\(f''=\displaystyle\frac{c-V}{c+V}f\)
(か)
壁に届く音波の振動数\(f'\)が求まっているので、
\(c_R=f' \lambda'_R\) より
\(c_R=\displaystyle\frac{cf}{c+V}･\lambda'_R\)
\(\lambda'_R=\displaystyle\frac{c_R(c+V)}{c}･\frac{1}{f}\)
(き)
観測者\(Q\)から見た音速は、\(c_R+W\)であり、波長は\(\lambda'_R\)であるので、
観測者\(Q\)が聞く音波の振動数を\(f'_R\)とすると、
\(c_R+W=f'_R \lambda'_R\)
\(=\displaystyle\frac{c_R(c+V)}{c}･\frac{f'_R}{f}\)
\(f'_R=\displaystyle\frac{c(c_R+W)}{c_R(c+V)}f\)
(く)
車\(S\)の速度(U\)を図中の破線方向と、その垂直な方向へ分解すると、図のようになる。
この図から、車\(S\)が移動する速度の、音波が進む方向の成分は、
\(Usin\theta\)
(け)
車\(S\)から見た図中の破線方向への音速は、\(c-Usin\theta\)であり、振動数は\(f\)であるから、波長を\(\lambda''\)とすると、
\(c-Usin\theta=f\lambda''\)
\(\lambda''=\displaystyle\frac{c-Usin\theta}{f}\)
一方で、静止しているときの波長は、(あ)より
\(\lambda=\displaystyle\frac{c}{f}\)
であったから、その倍数差は
\(\displaystyle\frac{\lambda''}{\lambda}=\frac{c-Usin\theta}{c}\)
(こ)
図のように、\(M\)、\(x_0\)、\(x_1\)、\(x_2\)をおく。
音波が\(x_0→M→x_2\)と進む間に車がちょうど\(x_0→x_2\)と進めばよいので、
\(L'=\overline{x_0x_2}\)
\(=2\overline{x_0x_1}\)
\(=2Ltan\theta\)
(さ)
\(\overline{x_0M}cos\theta=L\) より
\(\overline{x_0M}=\displaystyle\frac{L}{cos\theta}\)
\(\overline{Mx_2}=\overline{x_0M}\) であるから、音波が\(x_0→M→x_2\)と進む時間を\(t_1\)とすると、
\(t_1=\displaystyle\frac{\overline{x_0M}+\overline{Mx_2}}{c}\)
\(=\displaystyle\frac{2\overline{x_0M}}{c}\)
\(=\displaystyle\frac{2L}{ccos\theta}\)
また、車が\(x_0→x_1→x_2\)と進む時間を\(t_2\)とすると、
\(t_2=\displaystyle\frac{2Ltan\theta}{U}\)
題意より、\(t_1=t_2\)となればよいので、
\(\displaystyle\frac{2L}{ccos\theta}=\frac{2Lsin\theta}{Ucos\theta}\)
\(\displaystyle\frac{1}{c}=\frac{sin\theta}{U}\)
よって
\(sin\theta=\displaystyle\frac{U}{c}\)
(し)
ドップラー効果の公式を用いる。
壁に届く音波の振動数を\(f'_s\)とすると、
\(f'_s=\displaystyle\frac{c}{c+Usin\theta}f\)
運転手\(D\)が聞く反射音の振動数を\(f''_s\)とすると、
\(f''_s=\displaystyle\frac{c+Usin\theta}{c}f'_s\)
\(=f\)
(すせ) (※数式が表示されない端末があれば教えてください)
干渉条件は、経路差\(=0\)は取りえないとすると、
経路差＝\( \left\{ \begin{array}{l} (n+1)\lambda \\ (n+\displaystyle\frac{1}{2})\lambda \end{array} \right.\)
\((n=0,1,2…)\)
と表せる。
ここで、経路差は車\(S\)から発せられて、壁で反射した音の往復距離を示すので、
\(\displaystyle\frac{2L}{cos\theta}=\left\{ \begin{array}{l} (n+1)\lambda \\ (n+\displaystyle\frac{1}{2})\lambda \end{array} \right. \)
いま、
\(sin\theta=\displaystyle\frac{U}{c}\) より \(cos\theta=\displaystyle\frac{\sqrt{c^2-U^2}}{c}\)
であるから、
\(\displaystyle\frac{2Lc}{\sqrt{c^2-U^2}}=\left\{ \begin{array}{l} (n+1)\lambda \\ (n+\displaystyle\frac{1}{2})\lambda \end{array} \right. \)
よって、
\(L=\displaystyle\frac{\sqrt{c^2-U^2}}{2c}\lambda \left\{ \begin{array}{l} n+1 \\ n+\displaystyle\frac{1}{2} \end{array} \right. \)
ここに、\(\lambda=\displaystyle\frac{c}{f}\) を適用して
\(L=\underset{(す)}{\underline{\displaystyle\frac{\sqrt{c^2-U^2}}{2f} }} \underset{(せ)}{\underline{\left\{ \begin{array}{l} n+1 \\ n+\displaystyle\frac{1}{2} \end{array} \right. }}\)
(せ)に関しては、音波の固定端反射について、この音波を物質波とするか密度波とするかで条件が不足し、どちらも解としてありえるため、受験生全員を正解とする発表がされている。
