■解答
問１ \(7×10^{-5}[rad/s]\) 問２ \(\left( \displaystyle\frac{GM}{\omega_s^2} \right)^{\frac{1}{3}}\)
問３ \(mR_1\omega_s^2-\displaystyle\frac{GMm}{R_1^2}\) 問４ \( \left( \displaystyle\frac{2GM}{\omega_s^2}\right) ^{\frac{1}{3}}\)
問５(a) \(G\displaystyle\frac{M\Delta m}{r_i^2}-\Delta mr_i\omega_s^2\) (b) \(\lambda \Delta r\)
(c) \(GM\lambda \left( \displaystyle\frac{1}{R_0}-\frac{1}{R_2}\right) -\displaystyle\frac{1}{2}\lambda \omega_s^2(R_2^2-R_0^2)\) (d) \(0\)
問６ \(\displaystyle\frac{R_2}{R_0}=\frac{1}{2}\left( \sqrt{1+(\frac{2R_s}{R_0})^3} -1 \right)\) 記号：(え)
■解説
問１
１日で\(2\pi[rad]\)回転するので、
\(\omega_s=\displaystyle\frac{2\pi}{24×60×60}\)
\(=7.272...\)
\(=7×10^{-5}[rad/s]\)
問２ 円運動の運動方程式より、万有引力を向心力として、
\(mR_s\omega_s^2=G\displaystyle\frac{Mm}{R_s^2}\)
\(R_s^3=\displaystyle\frac{GM}{\omega_s^2}\)
\(R_s=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{GM}{\omega_s^2}}\)
問３ 張力の大きさを\(S\)として、人工衛星とともに動く系から見た力のつり合いの式は、
\(S+G\displaystyle\frac{Mm}{R_1^2}=mR_1\omega_s^2\)(遠心力)
\(S=mR_1\omega_s^2-G\displaystyle\frac{Mm}{R_1^2}\)
問３(別) 円運動の運動方程式より、
\(mR_1\omega_s^2\)(向心力)\(=S+G\displaystyle\frac{Mm}{R_1^2}\)
\(S=mR_1\omega_s^2-G\displaystyle\frac{Mm}{R_1^2}\)
問４ 力学的エネルギー保存則を用いる。無限遠でちょうど運動エネルギーが\(0\)となると考えると、
\(\displaystyle\frac{1}{2}m'v^2-G\displaystyle\frac{Mm'}{r'}=0\)
ここに、\(v=r'\omega_s\)を適用して、
\(\displaystyle\frac{1}{2}m'(r'\omega_s)^2-G\displaystyle\frac{Mm'}{r'}=0\)
\(r'^3\omega_s^2-2GM=0\)
\(r'^3\omega_s^2=2GM\)
\(r'^3=\displaystyle\frac{2GM}{\omega_s^2}\)
\(r'=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{2GM}{\omega_s^2}}\)
問５(a) 質点の運動方程式は、円運動をしていることから
\(\Delta m r_i \omega_s^2 = T_{i-1} +G\displaystyle\frac{M\Delta m}{r_i^2}-T_i\)
\(=-F_i+G\displaystyle\frac{M\Delta m}{r_i^2}\)
\(F_i=G\displaystyle\frac{M\Delta m}{r_i^2}-\Delta m r_i \omega_s^2\)
(a)別 質点とともに運動する系から見た力のつり合いの式は、
\(\Delta m r_i \omega_s^2 +T_i =G\displaystyle\frac{M\Delta m}{r_i^2}+T_{i-1}\)
\(T_i-T_{i-1}=G\displaystyle\frac{M\Delta m}{r_i^2}-\Delta m r_i \omega_s^2\)
\(F_i=G\displaystyle\frac{M\Delta m}{r_i^2}-\Delta m r_i\omega_s^2\)
(b) ワイヤーの単位長さ(ふつう\(1m\))あたりの質量を\(\lambda\)としている。(これを線密度と呼ぶ)ので、長さ\(\Delta r\)あたりの質量\(\Delta m\)は、
\(\Delta m =\lambda \Delta r\)
(c) (a)に(b)を代入すると、
\(F_i=GM\lambda \displaystyle\frac{\Delta r}{r_i^2}-\lambda \omega_s^2 r_i \Delta r\)
となるから、
\(F_i=GM\lambda \left(\displaystyle\sum_{i=1}^N r_i^{-2}\Delta r \right) -\lambda \omega_s^2 \left( \displaystyle\sum_{i=1}^N r_i \Delta r \right) \)
\(=GM\lambda \displaystyle\frac{1}{-2+1} \left( R_2^{-2+1}-R_0^{-2+1} \right) -\lambda \omega_s^2 \displaystyle\frac{1}{1+1} \left( R_2^{1+1} -R_0^{1+1} \right)\)
\(=GM\lambda \left( R_0^{-1}-R_2^{-1} \right) -\lambda \omega_s^2\displaystyle\frac{1}{2} \left( R_2^2-R_0^2 \right) \)
\(=GM\lambda \left( \displaystyle\frac{1}{R_0}-\frac{1}{R_2} \right) -\displaystyle\frac{1}{2} \lambda \omega_s^2 \left( R_2^2-R_0^2 \right) \)
(d)
\(F=\displaystyle\sum_{i=1}^N F_i\)
\(=(T_1-T_0)+(T_2-T_1)+(T_3-T_2)+…+(T_N-T_{N-1})\)
\(=-T_0+T_N\)
\(=0\)
問６ (c)=(d) より
\(GM\lambda \left( \displaystyle\frac{1}{R_0}-\frac{1}{R_2} \right) = \displaystyle\frac{1}{2}\lambda \omega_s^2 (R_2^2-R_0^2)\)
\(\displaystyle\frac{2GM}{\omega_s^2}･\frac{R_2-R_0}{R_0R_2}=(R_2-R_0)(R_2+R_0)\)
\(2R_s^3･\displaystyle\frac{1}{R_0R_2}=R_2+R_0\)
\(2R_s^3=R_0R_2(R_2+R_0)\)
\(0=R_0R_2^2+R_0^2R_2-2R_s^3\)
\(=R_2^2+R_0R_2-2\displaystyle\frac{R_s^3}{R_0}\)
\(R_2=\displaystyle\frac{-R_0+\sqrt{R_0^2+4\frac{2R_s^3}{R_0}}}{2}\)
\(=\displaystyle\frac{-R_0+\sqrt{R_0^2+\frac{8R_s^3}{R_0}}}{2}\)
\(\displaystyle\frac{R_2}{R_0}=\frac{-1+\sqrt{1+\frac{8R_s^3}{R_0^3}}}{2}\)
ここで、\(R_s=7R_0\)とすると、
\(\displaystyle\frac{R_2}{R_0}=\frac{-1+\sqrt{1+\frac{8･7^3R_0^3}{R_0^3}}}{2}\)
\(=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{1+2744}}{2}\)
\(=\displaystyle\frac{-1+3\sqrt{305}}{2}\)
\(\fallingdotseq \displaystyle\frac{-1+3×17}{2}\)
\(=\displaystyle\frac{-1+51}{2}\)
\(=25\)
よって(え)
