■解答
問１ \(\displaystyle\frac{V^2}{r}sin^2 \omega t[W]\) 問２ \(\displaystyle\frac{2\overline{P_A}}{V}[A]\)
問３ \(\omega CV[A]\) 問４ \( \sqrt{\left( \displaystyle\frac{2\overline{P_A}}{V}\right) ^2+(\omega CV)^2}[A]\)
問５ \(\left[ \left( \displaystyle\frac{2\overline{P_A}}{V}\right) ^2+(\omega CV)^2\right]R[A]\) 問６ \(V_{min}=\sqrt{\displaystyle\frac{2\overline{P_A}}{\omega C}}[V]\) \(\bar{P_B}=4\omega CR\overline{P_A}[W]\)
問７ (え)
■解説
問１
消費地での電流の最大値を\(I_r\)とすると、消費地での時刻\(t\)での電流\(i(t)\)は、
\(i(t)=I_r sin\omega t\)
と書けるので、電力は、
\(P_A(t)=VI_r sin^2 \omega t\)
ここに、\(I_r=\displaystyle\frac{V}{r}\)を代入すると、
\(P_A(t)=\displaystyle\frac{V^2}{r}sin^2 \omega t[W]\)
問２
\(P_A(t)=VI_r sin^2 \omega t\) より
\(\overline{P_A}(t)=VI_r \overline{sin^2 \omega t}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}VI_r\)
\(I_r=\displaystyle\frac{2\overline{P_A}}{V}[A]\)
問３
コンデンサーのリアクタンスを\(X_C\)とすると、時刻\(t\)にコンデンサーを流れる電流\(i_C(t)\)は、
\(i_C=\displaystyle\frac{v(t)}{X_C}=\omega CV cos \omega t\) (∵\(X_C=\displaystyle\frac{1}{\omega C}, v=Vcos \omega t\))
よって最大値は、\(cos \omega t =1\)のときであるから、
\(I_C=\omega CV[A]\)
問４
\(i_C=\omega CV cos \omega t\)、\(i_R=I_r sin \omega t\) より
\(i_R=\omega CV cos \omega t +I_r sin \omega t\)
ここで、\(a sin \theta+b cos\theta =\sqrt{a^2+b^2}sin(\theta + \phi)\)の公式を用いて、
\(i_R=\sqrt{I_r^2+(\omega CV)^2}sin(\omega t +\phi)\)
よって、最大値は、\(sin(\omega t +\phi)=1\)のときであるから、
\(I_R=\sqrt{I_r^2+(\omega CV)^2}\)
ここに、問２の結果を代入すると、
\(I_R=\sqrt{\left( \displaystyle\frac{2\overline{P_A}}{V}\right)^2 +(\omega CV)^2}\)
問５ \(\overline{P_B}=2R\overline{i_R^2}\) において、
\(i_R^2=I_R^2sin^2 (\omega t +\phi)\) より
\(\overline{i_R^2}=I_R^2 \overline{sin^2(\omega t + \phi)}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}I_R^2\) であるから、
\(\overline{P_B}=RI_R^2\)
\(=R\left[ \left( \displaystyle\frac{2\overline{P_A}}{V} \right)^2 +(\omega CV)^2 \right]\)
問６ 問５において、
\(\left( \displaystyle\frac{2\overline{P_A}}{V} \right)^2 \geq 0\)、\((\omega CV)^2 \geq 0\)
であるから、相加平均･相乗平均の関係により
\(\overline{P_B} \geq 2R \sqrt{\left( \displaystyle\frac{2\overline{P_A}}{V} \right)^2 ･(\omega CV)^2}\)
\(=2R･2\overline{P_A}･\omega C\)
\(=4\overline{P_A}\omega CR\)
▼[補足]相加平均・相乗平均の関係
\(a>0\)、\(b>0\)で、
\(\displaystyle\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\)
つまり
\(a+b \geq 2\sqrt{ab}\)
\(a=b\)のとき等号成立
また、
\(\left( \displaystyle\frac{2\overline{P_A}}{V} \right)^2 =(\omega CV)^2\)
のとき、等号が成立し、\(\overline{P_B}\)が最小となる。よって、
\(V^4=\left( \displaystyle\frac{2\overline{P_A}}{\omega C} \right)^2\)
\(V_{min}=\sqrt{\displaystyle\frac{2\overline{P_A}}{\omega C}}\)
問７
\(\overline{P_B}=R\left[ \left( \displaystyle\frac{2\overline{P_A}}{V} \right)^2 +(\omega CV)^2 \right]\) において、
\(R=10 \Omega\)、\(\overline{P_A}=100\)万\(kW=1.0×10^9W\)、\(V=500kV=5.0×10^5V\)
\(f=60Hz\)であるから、\(\omega=2\pi f ≒380 rad/s\)、\(C=10\mu F=1.0×10^{-5}F\)
を代入すると、
\(\overline{P_B}=10\left[ \left( \displaystyle\frac{2×10^9}{5×10^5} \right)^2 +(380×10^{-5}･5×10^5)^2 \right]\)
\(=10[(0.4×10^4)^2+1900^2]\)
\(=10[(4×10^3)^2+1.9^2×10^6]\)
\(≒10[16×10^6+4×10^6]\)
\(=10×20×10^6\)
\(=20×10^7W\)
\(=20×10^4kW\)
\(=20\)万\(kW\)
よって(え)
