■解答
問１ \(\displaystyle\sqrt{\frac{2h}{g}}\) 問２ \(2\sqrt{gh}\) 問３ \(\displaystyle\frac{2gh}{a}\)
問４ \( m\sqrt{2gh}\) 問５ \(v\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}\) 問６ \(\displaystyle\frac{gh}{a}\)
問７(a) (う) (b) (い)
問８(a) (う) (b) (う)
■解説
問１
車の速さが変わらないので、仰角\(45°\)に初速度\(v_0\)で運動する斜方投射となる。
鉛直方向について、
\(v_y=v_{0y}-gt_1\) より
\(0=\displaystyle\frac{v_0}{\sqrt{2}}-gt_1\)
\(v_0=\sqrt{2}gt_1\) ――(*)
また、最高点の高さが\(h\)であるから、
\(h=v_{0y}t_1-\displaystyle\frac{1}{2}gt_1^2\) より
\(h=\displaystyle\frac{v_0}{\sqrt{2}}t_1-\frac{1}{2}gt_1^2\)
\(=\displaystyle\frac{\sqrt{2}gt}{\sqrt{2}}t_1-\frac{1}{2}gt_1^2\)
\(=gt_1^2-\displaystyle\frac{1}{2}gt_1^2\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}gt_1^2\)
よって
\(t_1=\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}\)
問２
前問(*)式に\(t\)を代入して、
\(v_0=\sqrt{2}gt_1\)
\(=\sqrt{2}g･\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}\)
\(=2\sqrt{gh}\)
問３
助走距離を\(L_1\)とすると、\(L_1\)だけ走行して速度が\(v_0\)となればいいので、
\(v^2-v_0^2=2ax\) より
\(v_0^2-0^2=2aL_1\)
ここに、\(v_0=2\sqrt{gh}\)を代入すると、
\(4gh=2aL_1\)
\(L_1=\displaystyle\frac{2gh}{a}\)
問４
高さ\(h\)に到達するためには、ジャンプするときの速度の鉛直成分\(v_{0y}'\)は、力学的エネルギー保存則より、
\(mgh=\displaystyle\frac{1}{2}mv_{0y}'^2\)
\(v_{0y}'=\sqrt{2gh}\)
であればいいので、鉛直方向への運動量と力積の関係より、
\(I=F\Delta t=m\Delta v\)
\(=mv_{0y}'\)
\(m\sqrt{2gh}\)
問５
鉛直方向の初速度\(v_{0y}'\)で、高さ\(h\)だけ上がるのに要する時間\(t_2\)は、
\(v=v_{0y}'-gt_2\) より
\(0=\sqrt{2gh}-gt_2\)
\(t_2=\displaystyle\frac{\sqrt{2gh}}{g}\)
\(\displaystyle\sqrt{\frac{2h}{g}}\)
よって、塀までの距離を\(l\)とすると、
\(l=vt_2\) より
\(l=v\displaystyle\sqrt{\frac{2h}{g}}\)
問６
仰角\(45°\)にジャンプするとき、Ⅰの結果より、投射の初速度が\(v_0\)であればよいので、助走距離\(L_2\)だけ走行したときの速度が水平方向に\(\displaystyle\frac{v_0}{\sqrt{2}}\)であればよい。
よって
\(v^2-v_0^2=2ax\) より
\(\left( \displaystyle\frac{v_0}{\sqrt{2}}\right)^2 -0^2 =2aL_2\)
\(\displaystyle\frac{v_0^2}{2}=2aL_2\)
\(L_2=\displaystyle\frac{v_0^2}{4a}\)
問２より、\(v_0=2\sqrt{gh}\)なので、
\(L_2=\displaystyle\frac{4gh}{4a}\)
\(=\displaystyle\frac{gh}{a}\)
問７
問３の結果が、\(L_1=\displaystyle\frac{2gh}{a}\)
問６の結果が、\(L_2=\displaystyle\frac{gh}{a}\)
問３も問６も、投射の初速度は\(v_0\)であるが、その直前の速度が異なっている。
＜問３＞
＜問６＞
\((v_0>v)\)
ジャンプ前後で、\(\underset{(a)(う)}{\underline{運動量のx成分}}\)は、問６で保存、問３で減少する。
また、\(\underset{(b)(い)}{\underline{力学的エネルギー}}\)は、問３で保存、問６で増加する。
問８
問３でも、問６でも、放物運動自体は同じ軌道となります。変わるのは、助走距離です。
放物運動の軌道は全く同じ運動のふるまいとなるので、塀を超えてから地面に達するまでの時間は、\(\underset{(c)(う)}{\underline{変化していません}}\)。
また、塀の位置から車が地面に達した点までの\(x\)軸方向の距離も、\(\underset{(d)(う)}{\underline{変化していません}}\)。
