■解答
問１ \(v=\displaystyle\frac{nh}{2\pi mr}\) 問２ \(\displaystyle\frac{h^2}{4\pi^2 mk_0 e^2}\) 問３ \(\displaystyle\frac{1}{1+s}\)倍
問４ \(\delta=\displaystyle\frac{4\pi^2 G'Mm^2}{h^2}\) 問５ \(\delta=8×10^{-34}\)
問６ \(\rho V g\) 問７ \(M<\displaystyle\frac{1}{2}\rho V\) 問８ \(\rho ' =\displaystyle\frac{1}{2}\rho+\frac{M}{V}\)
問９ \(L'=\displaystyle\frac{4SL-V}{3S}\) 問１０ \(T'=\displaystyle\frac{4}{3}T\) 問１１ \(P'=\displaystyle\frac{4}{3}P\)
問１２(a) (い) (b) (あ)
■解説
問１
リード文に「電子の軌道の一周の長さが電子のド・ブロイ波長の自然数倍」とあるので、自然数を\(n\)として、
\(2\pi r=n\lambda\)
\(=n･\displaystyle\frac{h}{mv}\)
\(v=\displaystyle\frac{nh}{2\pi mr}\)
問２
円運動の運動方程式に問１の\(v\)を適用して、
\(m\displaystyle\frac{v^2}{r}=k_0\frac{e^2}{r^2}\)
\(m\displaystyle\frac{n^2h^2}{4\pi^2 m^2 r^2}=k_0\frac{e^2}{r}\)
\(r=\displaystyle\frac{n^2h^2}{4\pi^2 mk_0 e^2}\)
よって、最小の半径を\(r_{min}\)とすると、\(n=1\)として、
\(r_{min}=\displaystyle\frac{h^2}{4\pi^2 mk_0 e^2}\)
問３
円運動の運動方程式に万有引力も考慮すると、
\(m\displaystyle\frac{v'^2}{r'}=k_0\frac{e^2}{r'^2}+s･k_0\frac{e^2}{r'^2}\)
\(=(1+s)k_0\displaystyle\frac{e^2}{r'^2}\)
\((1+s)\)を\(k_0e^2\)の係数と考えると、
\(r'_{min}=\displaystyle\frac{h^2}{4\pi^2(1+s)mk_0e^2}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{1+s}r_{min}\)
よって、
\(\displaystyle\frac{1}{1+s}\)倍
問４
問３と同様に、円運動の運動方程式に、修正万有引力の法則を考慮すると、
\(m\displaystyle\frac{v''^2}{r''}=k_0\frac{e^2}{r''^2}+G\frac{Mm}{r''^3}\)
また、問１と同様に、ボーアの量子条件から、
\(v''=\displaystyle\frac{nh}{2\pi mr''}\)
となるから、
\(\displaystyle\frac{m}{r''}･\frac{n^2h^2}{4\pi^2 m^2 r''^2}=\frac{k_0e^2r''}{r''^3}+\frac{G'Mm}{r''^3}\)
\(\displaystyle\frac{n^2h^2}{4\pi^2m}=k_0e^2r''+G'Mm\)
\(k_0e^2r''=\displaystyle\frac{n^2h^2}{4\pi^2m}-G'Mm\)
\(r''=\displaystyle\frac{n^2h^2}{4\pi^2mk_0e^2}-\frac{G'Mm}{k_0e^2}\)
\(r''_{min}=\displaystyle\frac{h^2}{4\pi^2mk_0e^2}-\frac{G'Mm}{k_0e^2}\)
\(=\displaystyle\frac{h^2}{4\pi^2mk_0e^2}\left(1-\displaystyle\frac{4\pi^2mk_0e^2}{h^2}･\frac{G'Mm}{k_0e^2}\right)\)
\(=r_{min}\left( 1-\displaystyle\frac{4\pi ^2m^2G'M}{h^2}\right)\)
\(\displaystyle\frac{r''_{min}}{r_{min}}=1-\displaystyle\frac{4\pi^2G'Mm^2}{h^2}≡1-\delta\)
よって
\(\delta=\displaystyle\frac{4\pi^2G'Mm^2}{h^2}\)
問５、
\(r=R\)において、それぞれの法則が同じ大きさの力を与える、とあるので、
\(G\displaystyle\frac{Mm}{R^2}=G'\displaystyle\frac{Mm}{R^3}\) より
\(GR=G'\)
この問題は、問題で与えられている\(R,s,r\)のみで式を表すことを目指したいので、それを念頭に置きながら解いていきましょう。
問４の\(\delta\)に各値を代入すると、
\(\delta=\displaystyle\frac{4\pi^2G'Mm^2}{h^2}\)
\(=\displaystyle\frac{4\pi^2GRMm^2}{h^2}\)
\(=R･\displaystyle\frac{GMm}{k_0e^2}･\frac{4\pi^2mk_0e^2}{h^2}\)
\(=R･s･\displaystyle\frac{1}{r_{min}}\)
\(=10^{-4}･4×10^{-40}･\displaystyle\frac{1}{5×10^{-11}}\)
\(=0.80×10^{-33}\)
\(=8×10^{-34}\)
となりました。この問題では有効数字が１桁指定になっていることにも注意しておきましょう。
問６
容器のみが受ける浮力の大きさは、アルキメデスの原理より、
\(F=\rho Vg\)
問７
気体\(Y\)と容器の重さの合計値より、浮力の大きさが大きければいいので、気体\(Y\)の質量\(m\)が、
\(m=\displaystyle\frac{1}{2}\rho V\) と表せることから、
\(\rho Vg>\displaystyle\frac{1}{2}\rho Vg+Mg\)
\(M<\rho V-\displaystyle\frac{1}{2}\rho V =\frac{1}{2}\rho V\)
問８
ピストンを引くと、気体\(X\)の密度が減少し、\(\rho'\)になるため、容器に加わる浮力も\(\rho'Vg\)となる。
このとき、
\(\rho'Vg=\displaystyle\frac{1}{2}\rho Vg+Mg\) より
\(\rho'=\displaystyle\frac{1}{2}\rho +\frac{M}{V}\)
問９
\(M=\displaystyle\frac{\rho V}{4}\) とするので、問８の値は、
\(\rho'=\displaystyle\frac{1}{2}\rho+\frac{1}{4}\rho\)
\(=\displaystyle\frac{3}{4}\rho\)
気体\(X\)の質量はピストンの位置に関わらず等しいので、ピストンが端からの距離\(L\)にあるときと、\(L'\)にあるときとを考えると、
\(\rho(SL-V)=\rho'(SL'-V)\)
\(=\displaystyle\frac{3}{4}\rho(SL'-V)\)
\(SL-V=\displaystyle\frac{3}{4}(SL'-V)\)
\(\displaystyle\frac{3}{4}SL'=SL-\frac{1}{4}V\)
\(L'=\displaystyle\frac{4}{3}L-\frac{V}{3S}\)
問１０
等圧変化をしているので、シャルルの法則より、
\(\displaystyle\frac{LS-V}{T}=\frac{L'S-V}{T'}\)
よって
\(T'=\displaystyle\frac{L'S-V}{LS-V}T\)
\(=\displaystyle\frac{(\frac{4}{3}L-\frac{V}{3S})S-V}{LS-V}T\)
\(=\displaystyle\frac{\frac{4}{3}LS-\frac{V}{3}-V}{LS-V}T\)
\(=\displaystyle\frac{4(LS-V)}{3(LS-V)}T\)
\(=\displaystyle\frac{4}{3}T\)
問１１
容器\(B\)内で、ボイル･シャルルの法則より
\(\displaystyle\frac{PV}{T}=\frac{P'V}{T'}\)
よって
\(P'=\displaystyle\frac{T'}{T}P\)
\(=\displaystyle\frac{4}{3}P\)
問１２
(a)
温度差が生じないためには、ピストンを引いたときに、容器\(A\)の外部\(\underset{(い)}{\underline{から内部に熱が流入}}\)しなければならない。
(b)
加熱すると、気体\(X\)の\(\underset{(あ)}{\underline{内部エネルギーは増加}}\)する。
